I-MEMÓRIA DESCRITIVA

1-Introdução:

O trabalho apresentado insere-se no âmbito da disciplina de projecto e teve como objectivo a realização de um projecto de excussão, referente a um edifício de habitação constituído por duas caves e por cinco pisos acima do solo, sendo a sua cobertura acessível. Como condicionalismos da arquitectura o edifício é constituído para além das escadas, de um núcleo de betão armado destinado á colocação de elevadores. A concepção do edifício foi equacionada de acordo  com a regulamentação existente e pensando num bom dimensionamento estrutural.

O presente edifício situa-se em Coimbra e ocupa uma área de construção bruta de aproximadamente 614m². No presente projecto é apresentado o dimensionamento de um painel de lajes pertencente ao 3º piso de duas vigas (pertencentes ao quarto piso), de um pilar e respectiva fundação e de um troço do  muro de contenção de terras existente ao nível das caves.

As duas caves do edifício destinam-se a estacionamento e cinco pisos acima do solo destinam-se a habitação tendo o quinto piso acima da cota do terreno natural uma arquitectura diferente.

2 – Condicionalismos:

As fundações do edifício são fundações directas que  assentam sobre um solo do tipo I, tendo o solo uma tensão admissível de 0,4 MPa. O solo apresenta ainda uma massa volumica de 21 KN/m³ e um ângulo de atrito interno de 35º.

As duas caves do edifício  encontram a uma cota inferior  á do terreno natural que circunda o edifício , mas considera-se no entanto que o nível freático encontra-se a uma cota que não influência o comportamento estrutural .

Segundo ao anexo 3 do R.S.A. o edifício situa-se na Zona C, para efeitos da quantificação da acção dos sismos (Artg. 28º R.S.A.).

3 – Solução estrutural:

A solução estrutural adoptada, para a execução deste edifício, foi a de um conjunto de pórticos constituído por vigas, pilares que suportam os pavimentos constituídos por lajes maciças de betão armado. As vigas recebem os esforços provenientes das lajes e encaminham-nos para os pilares que por sua vez transmitem essas forças ás sapatas.

A estrutura do edifício foi concebida  tendo em conta os condicionalismos de arquitectura evitando-se, sempre que possível, que os elementos estruturais se destacassem da envolvente arquitectónica. Para não existir uma desproporção das inércias o que levaria a uma instabilidade da estrutura no caso da ocorrência de sismos, houve uma colocação cuidada dos pilares.

Todos os elementos estruturais são constituídos por betão armado, estes foram projectados com o intuito de assegurar um bom comportamento aos diversos tipos de combinações de acções previstas no Regulamento Segurança e Acções ( R.S.A. ). Foram também considerados os condicionalismos previstos no Regulamento de Betão Armado e Pré-Esforçado (R.E.B.A.P.).

Tendo em conta as características geótecnicas do solo e a sua tensão de rotura o dimensionamento das fundações foi projectado considerando que estava garantida a segurança correspondente ao derrube e ao deslizamento.

Para as fundações do edifício foram adoptadas as seguintes soluções:

-          Para o muro dimensionado foi adoptada uma fundação directa com inclusão de viga de fundação, tratando-se de uma sapata excêntrica.

-           Para o pilar dimensionado foi adoptada uma fundação directa com inclusão de viga de fundação, tratando-se de uma sapata centrada.

Os recobrimentos a adoptar são os seguintes:

• Lajes – 3,0 cm
• Vigas – 2,5 cm
• Escadas – 3,0 cm
• Pilares – 2.5 cm
• Fundações – 5 cm

Para uma melhor execução em obra e para uma boa reaplicação sistemática de cofragens tentou-se uniformizar as secções dos elementos estruturais. ( O  Pré-dimensionamento dos elementos estruturais é apresentado em Anexo tal como as áreas de influencia dos pilares).

4 – Materiais utilizados:

q  Aço da classe A400 NR

q  Betão da classe B30

5 – Acções:

As acções intervenientes de acordo com o Regulamento Segurança e Acções são as seguintes:

q  Carga permanente;

q  Sobercarga;

q  Sismo;

q  Impulso de terras;

5.1 – Carga permanente:

Para a quantificação do peso próprio de cada elemento estrutural foi adoptado o valor para o peso volumico do betão 25 KN/m³ (artgº14  R.S.A.).

De acordo com o Art. 15º do R.S.A. quantificou-se o peso das paredes divisórias considerando o peso das paredes divisórias igual a 2 KN/m².

(afectado com o factor de 40% / Art. 15º R.S.A.) para o revestimento adoptou-se um peso de 1,5KN/m² ( Tabelas Técnicas ).

5.2 – Sobrecarga:

As sobrecargas utilizadas foram quantificadas de acordo com o Art. 34º , Art. 35º e Art. 37º do R.S.A.. Nestes artigos encontram-se definidos os valores característicos das sobrecargas, bem como os coeficientes para a determinação dos valores  das mesmas. As sobrecargas consideradas foram as seguintes:

q  Pavimentos – 2KN/m² (Art. 35º R.S.A.) (y₂ = 0,2)

q  Escadas – 5 KN/m² (Artg 37 R.S.A.) (y₂ = 0,2)

q  Cobertura  acessível – 2,0 KN/m² ( Art. 34º R.S.A.)

5.3 – Sismo:

A análise sísmica foi quantificada utilizando um processo simplificado de análise de acordo com os artigos 30º, 31º e 32º, do R.S.A.

Para a quantificação da acção sísmica consideraram-se as acções vibratórias transmitidas pelo terreno á estrutura, pois estas acções como provocam  alterações físicas no terreno irão influenciar negativamente a estabilidade do edifício, devido ao facto dos elementos estruturais absorverem os esforços actuantes na estrutura.

Para um melhor comportamento estrutural do edifico tentou-se distribuir os elementos estruturais o mais simétrico possível, para que o centro de rotação do edifício possa estar o mais próximo possível do centro de massa por forma a que os esforços devidos á torção do edifício aquando a acção sísmica sejam diminutos. Tentou-se também uniformizar todos os elementos estruturais o que também resulta na diminuição dos esforços.

5.4 – Impulso de terras:

Para a quantificação do impulso de terras  considerou-se para alem das características geotécnicas, uma sobrecarga no terreno de 10 KN/m².

5.5 – Outras considerações:

Devido ao facto do edifício se situar em Coimbra este está localizado, em termos de quantificação da acção do vento, na zona A (Artg 20º R.S.A.). As  acções devido a acção do vento foram quantificadas, de acordo com o capitulo 5 do R.S.A., no entanto, a acção do vento não foi considerada no cálculo devido ao facto de as forças provocadas pelo sismo serem superiores.

De acordo com o artgº26 do R.S.A., a localização do edifício obriga também á quantificação da acção da neve (capitulo 6º do R.S.A.), no entanto as acções quantificadas não foram consideradas no cálculo pois a sobrecarga considerada na cobertura é mais desfavorável.

O efeito das acções devido ás variações de temperatura e de retracção do betão não foram consideradas, pois de acordo com o Artg 31.2º e 32.2º do R.E.B.A.P., a maior dimensão do edifício em planta não excede os 30 metros.

No projecto apresenta apresentado foram adoptadas as disposições construtivas regulamentares  (R.E.B.A.P.), no que diz respeito aos artigos : 30º (Composição do betão ), 78º (Recobrimento mínimo das armaduras), 90º (Armadura longitudinal mínima e máxima), 91º e 105º (Espaçamento de varões), permitindo assim a dispensa da verificação ao Estado Limite de Utilização de Fendilhação, como consta no artigo 70.3º (R.E.B.A.P.). Como se cumpriu as disposições construtivas impostas nos artigos: 89º ( Altura mínima de vigas), 102º (Espessura mínima de lajes) do R.E.B.A.P, considera-se que se fica dispensado da verificação ao Estado Limite de Utilização de Deformação, como consta no Art. 72.3º  R.B.A.P.

5.6 – Combinações de acções:

A verificação da segurança, foi realizada admitindo que todas as acções têm um efeito desfavorável.

A combinação das acções para a determinação dos esforços de cálculo foram obtidas atendendo ás disposições do art.º 9 do R.S.A., sendo as seguintes:

q  Combinação tendo em conta a acção variável  base ser sobrecarga:

Sd = 1,5 x C.P. + 1,5 x S.C.      ( E.L.U.)

q  Combinação tendo em conta a acção variável  base ser sismo:

Sd₁ =  1,0 x C.P. + 0,2 x S.C. + 1,5 x Sismo

Sd₂ =  1,0 x C.P. + 0,2 x S.C. – 1,5 x Sismo

6 – Método de cálculo:

No projecto apresentado para o cálculo dos esforços em pilares e vigas recorreu-se ao programa de cálculo automático SAP 2000, baseado no método dos elementos finitos, para a utilização do referido programa procedeu-se do seguinte modo:

1º Criou-se um novo modelo;

2º Definiu-se as secções materiais e acções bem como a combinação de acções;

3º Definiu-se geometricamente a estrutura, definindo-se os elementos de barra com as respectivas;

secções associadas e criaram-se nós atribuindo-lhes as restrições necessárias;

4º Aplicaram-se as acções nas barras e nos nós;

5º Calculou-se a estrutura;

6º Visualizou-se e analisou-se os resultados.

No auxilio á quantificação dos esforços em lajes recorreu-se ás tabelas de Barez, e para a compatibilização desses esforços utilizou-se a regra de Marcus.

7 – Bibliografia:

-          Betão Armado – Esforços Normais e de Flexão – L.N.E.C.

-          Desenho Técnico – Fundação Cáloust Gulbenkian, Lisboa 1997

-          Folhas da cadeira de Projecto

-          R.E.B.A.P. – Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré- Esforçado, Porto Editora,

Lda.

-          R.S.A. – Regulamento de Segurança e Acções, Editora Rei dos livros

-          Tabelas Técnicas- Engº Brasão Farinha e Vítor Monteiro.

II – CÁLCULOS JUSTIFICATIVOS

1- Acção sísmica:

1.1 -  Zoneamento do território:

O edifício situa-se em Coimbra, que de acordo com o Art. 28º do R.S.A. corresponde á zona C, o que implica um coeficiente de sismicidade:  a = 0,5 ( Art. 29º R.S.A.)

1.2 – Tipo de terreno:

O terreno a considerar é do tipo I, o que significa que se tratam de rochas e de solos coerentes rijos.

1.3 – Coeficiente sísmico:

O coeficiente sísmico b relativo á acção dos sismos numa dada direcção, é calculado pela expressão:

b = b₀ x a / h (artigo 31º do R.S.A.)

a) Coeficiente sísmico de referência  ( b₀ )

O Coeficiente sísmico de referência  (b₀ )  depende do tipo de terreno e da frequência

própria fundamental da estrutura. Sendo esta dada pela seguinte expressão :

f = 12 / n (para estruturas em pórtico, em que n é o n.º de pisos acima do solo: n = 5) ,

logo,

f = 12 / 5 = 2.4 Hz

sendo:

Tipo de terreno I      Art. 31.2 ( R.S.A.)   =>       b₀= 0.17 x Ö f

f = 2.4 Hz

Conclui-se que:

b₀= 0.17 x Ö2.4 = 0.263

b) – Coeficiente de Sismicidade ( a ) => a = 0,5

c) – Coeficiente de comportamento ( h )

O Coeficiente de comportamento depende do tipo de estrutura e das suas características de ductilidade e ainda do grau admitido na exploração dessa ductilidade. No caso de edifícios correntes pode adoptar-se conforme o Art. 33.2º do REBAP :

h = 2.5 => Estruturas em pórtico, com ductilidade normal

Em suma,

b = 0.263 x 0.5 / 2.5 = 0.0526

1.4 – Centro de massa:

O centro de massa refere-se ao ponto onde actua a força sismica estática equivalente.

Para o cálculo das coordenadas do centro de massa foram utilizadas as seguintes expressões:

X_CG=å(mi*xi)/å(mi)

Y_CG=å(mi*yi)/å(mi)

Em que;

mi – Representa a massa dos elementos estruturais (lajes, vigas e paredes

exteriores)

xi – Coordenada dos elementos  estruturais em relação a um eixo x

yi – Coordenada dos elementos  estruturais em relação a um eixo y

Para o cálculo do centro de massa das lajes uma combinação quase permanente (Art. 12º  R.S.A.)

(Piso tipo)     C.P. +  y₂ x S.C. = 8,74 +  0,2 x  2 = 9,14 KN/m²

(Cobertura)   C.P. +  y₂ x S.C. = 6,5 +  0,2 x  2 = 6,90 KN/m²

No projecto realizado foi calculado o centro de massa apenas para o 3º Piso, dado que este tinha uma geometria não ortogonal optou-se como critério de projecto por delimitar uma área ortogonal     (Figura 1) em torno do edifício simplificando assim o método de cálculo.

Figura 1 -  Área considerada para o cálculo do centro de massa

Exemplo de Cálculo

O método de cálculo utilizado, consiste em considerar uma área simplificada que delimita uma superfície ortogonal, neste caso um rectângulo, subtraindo-lhe as parcelas correspondentes ás áreas : A, B, C, D, E, F, G, H, I ficando-se assim com os valores correspondentes aos da área de construção.

a)- Lajes :

Exemplo para a  ÁREA TOTAL ( Área do rectângulo que circunda todo o edifício) :

Area Total = 689.07 m^² ;  Xi = 18.34 m  ; Yi = 9.39 m

P.P. Laje / m^² =  C.P. +  y₂ x S.C. = 8,74 +  0,2 x  2 = 9,14 KN/m²

Massa da laje ( mi )  = P.P. Laje KN/ m^² x Area ( m^^{2 )} = 9.14 x 689.07 = 6298.1 KN

mi x Xi = 6298.1 x18.34 = 115507.15 KN.m

mi x Yi = 6298.1 x 9.39 =  59139.16 KN .m m

A este  ( mi x Xi) e ( mi x Yi ) calculado para a área total subtraiu-se os (mi x Xi) e  ( mi x Yi ) correspondentes ás áreas :           A, B, C, D, E, F, G, H, I.

Portanto ;

Lajes    =>               mi x Xi = 84267.99 KN.m

Total                        mi x Yi = 47792.09 KN.m

å mi =  4336.93 KN

b) – Vigas

Exemplo para a  Viga V1

Lviga = 11.2 m  ; Xi = 4.85 m ; Yi = 14.46 m ; b= 0.25 ; h = 0.2 ( retirando a altura da laje )

Peso volumico do betão – 25 KN / m³

P.P. Viga / m = b x h x 25 = 0.25 x 0.2 x 25 = 1.25 KN / m

Massa da viga = P.P. Viga / m x Lviga = 1.25 x 11.2 = 14 KN

Viga V1 =>  mi x Xi = 14 x 4.85 = 67.8 KN.m

mi x Yi = 14 x 14.46 = 202.44

A este  (mi x Xi) e (mi x Yi) calculado para a viga V1,  adicionou-se os (mi x Xi) e  ( mi x Yi ) correspondentes ás vigas :  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20.

Obtendo –se os seguintes resultados :

Vigas    =>               mi x Xi = 4973.975 KN.m

Total                        mi x Yi = 2670.558 KN.m

å mi =  253.2 KN

c) – Pilares

Exemplo para o pilar P1

Xi = 0.32 m ; Yi = 11.03 m ; Área da secção do pilar  = 0.165 ( retirando a altura da laje ) ; Considerando o pilar com um comprimento igual a metade do pé direito para cima e para baixo em relação ao nível em que se encontra a laje ( Comp Pilar = 3 m ).

Peso volumico do betão – 25 KN / m³

P.P. Pilar / m = b x h x 25 = 0.165 x 25 = 4.13 KN / m

Massa da viga = P.P. Pilar / m x Comp. Pilar = 4.13 x 3 = 12.4 KN

Pilar P1 =>  mi x Xi = 12.4 x 0.32 = 3.96 KN.m

mi x Yi = 12.4 x 11.03 = 136.496 KN.m

A este  (mi x Xi) e (mi x Yi) calculado para o pilar P1,  adicionou-se os (mi x Xi) e  ( mi x Yi ) correspondentes aos Pilares :  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31,  32, 33, 34, 35 e Caixa do elevador.

Obtendo –se os seguintes resultados :

Pilares    =>             mi x Xi = 11229.795 KN.m

Total                        mi x Yi = 5904.818 KN.m

å mi =  575.625 KN

d) – Paredes exteriores

Exemplo para a  parede Pa1

Xi = 4.85 m ; Yi = 14.46 m ; Lparede exterior = 11.2 m ; H parede = 2.6 m ( retirando a espessura

Considerando coeficiente de aberturas  = 0.5                                           das 2 lajes adjacentes )

g_parede = 2.9 KN / m^2

PPparede exterior = 9.05 KN / m

Massa da parede = P.P. Parede KN / m x Lparede = 9.05 x 11.2 = 101.34 KN

Parede Pa1 =>  mi x Xi = 101.34 x 0.32 = 3.96 KN.m

mi x Yi = 101.34 x 11.03 = 136.496 KN.m

A este  (mi x Xi) e (mi x Yi) calculado para a parede Pa1,  adicionou-se os (mi x Xi) e  ( mi x Yi ) correspondentes ás Paredes :  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Obtendo –se o seguinte resultado :

Paredes    =>            mi x Xi = 21813.05 KN.m

Total                         mi x Yi = 11024.43 KN.m

å mi =  1096.62 KN

De acordo com as alíneas a, b, c e d pode-se concluir que :

X_CG =  ( 84267.99 + 4973.97 + 11229.8 + 21813.05 ) / (4336.93 + 253.25 + 575.63 + 1096.62 )

Y_CG = (47792.09 + 2670.558 + 5904.818 + 11024.43) / (4336.93 + 253.25 + 575.63 + 1096.62 )

logo:

X_{CG ( Final )} =  19.53 m

Y_{CG ( Final} ) = 10.76 m

Nota: A tabela de cálculo do Centro de Massa  é apresentada em Anexo  (Anexo 9 ) 

1.5 – Centro de Rotação:

O Centro de Rotação é calculado apenas para os elementos verticais,  pilares e caixa de elevador, pois, a torção só se verificará nestes elementos aquando a ocorrência de um sismo. O Centro de Rotação define-se como sendo o ponto onde se verifica a torção da estrutura, durante a ocorrência de um sismo.

Neste projecto o Centro de Rotação  foi calculado em relação ao mesmo referencial utilizado no calculo do Centro de Massa. As coordenadas do Centro de Rotação foram calculadas através das seguintes expressões :

X_CR = å(Iyi*xi)/å(Iyi)

Y_CR = å(Ixi*yi)/å(Ixi)

Sendo :

yi => Distância, segundo o eixo yy, que vai desde o centro do elemento ao eixo concorrente;

xi => Distância, segundo o eixo xx, que vai desde o centro do elemento ao eixo concorrente;

Ixi => Momento de inércia dos pilares em relação ao eixo xx

Iyi => Momento de inércia dos pilares em relação ao eixo yy

Nota : No projecto apresentado o centro de rotação foi calculado para o 3º Piso

q  Exemplo de Cálculo

-          Exemplo para o pilar P1 :

Dimensões : a = 0.55 m ; b = 0.3 m

Xi = 0.284 m     ;    Yi = 11.04 m                         Iy x Xi = 7.38 x 10 ^-4 m⁵

Ix = 2.8 x 10 ^-3 m⁴ ;   Iy =  2.6 x 10 ^-3 m⁴ Ix x Yi = 3.09 x 10 ^-2 m⁵

Calculou-se todo  estes parâmetros para cada elemento vertical de onde se conclui que :

X_CR = å(Iyi*xi)/å(Iyi) =  ( 5.59 x 10¹ ) / 2.76 =  20.26 m

Y_CR = å(Ixi*yi)/å(Ixi) = 9.98 / 1.09 = 9.12 m

X_CR = 20.26 m        ;       Y_CR = 9.12 m

Nota: A tabela de cálculo do Centro de Rotação é apresentada em Anexo  (Anexo 11)

Em suma,

( sem escala )

Figura 2 – Marcação do centro de massa e do centro de rotação do edifício.

1.6 – Forças Estáticas Aplicadas Por Piso :

As forças estáticas podem supor-se aplicadas aos níveis dos pisos, bastando na maior parte dos casos considerar apenas a sua actuação em direcções horizontais,  Art. 32º R.S.A..

As forças Estáticas Aplicadas Por Piso foram calculadas através da seguinte expressão:

F_ki = b*hi*Gi* å(Gi) / å(hiGi)

Sendo :

b Þ coeficiente sísmico correspondente à direcção considerada;

hi Þ Altura a que se situa o piso i acima do nível do terreno;

Gi Þ Soma dos valores das cargas permanente e dos valores quase permanentes das cargas

variáveis correspondentes ao piso i;

O somatório refere-se ao nº de pisos acima do nível do terreno.

O parâmetro b foi calculado anteriormente. ( item : 1.3 )

-          Para o projecto apresentado:

Piso tipo => G = 4336.93 + 253.25 + 575.625 + 1096.618 = 6262.423 KN

Cobertura => G = 3084.25 + 278.15 + 287.813 = 3650.21 KN

Andar	beta	Gi	Hi ( m )	hi . Gi	Fki ( KN )
1º	0,0526	6262,42	3	18787,27	41,435
2º	0,0526	6262,42	6	37574,54	82,870
3º	0,0526	6262,42	9	56361,81	124,305
4º	0,0526	6262,42	12	75149,08	165,740
5º (cob)	0,0526	3650,21	15	54753,15	120,757
Somatório		9912,63		242625,84

Quadro 1  -   Quadro resumo das forças estáticas aplicadas por piso

Nota: As tabela de auxilio ao cálculo das Forças estáticas aplicadas por piso estão apresentadas em Anexo  (Anexo 9 e 10 ).

1.7 – Forças De Translação :

As forças de translação traduzem-se em forças aplicadas ao nível de cada piso segundo as duas direcções ortogonais consideradas. No projecto apresentado as Forças de translação foram calculadas pelas seguintes expressões:

Ft_x = ( F_ki x Iy ) / å Iy

Ft_y = ( F_ki x Ix ) / å Ix

Em que :

F_ki => Valor característico da força estática  aplicada ao nível de cada  piso

Ix => Momento de inércia dos pilares em relação ao eixo xx

Iy => Momento de inércia dos pilares em relação ao eixo yy

Para o edifício foram calculadas as forças de translação em todos os pilares nas duas direcções e em seguida calcularam-se as forças de translação aplicadas nos 2 pórticos de projecto.

Exemplo de Cálculo

- Força de translação do pilar P1 – 2º  Andar

Sabendo que para P1 :  Ix = 0.0028 m⁴ ;       Iy = 0.0026 m⁴ ;    Fki = 82.87 KN

E que :    å Ix = 1.095 m⁴ ; å Iy = 2.758 m⁴

Ftx = ( 82.87 x 0.0026 ) / 2.76 = 0.078 KN

Fty = ( 82.87 x 0.0028 ) / 1.095 = 0.213 KN

- Força de translação  – 2º  Andar – Portico X

Sabendo que os pilares pertencentes ao pórtico X são os seguintes : P26 , P27 , P28

Tem-se que :

P26 =>  Ix = 0.0042 m⁴ ;       Iy = 0.0012 m⁴ ;    Fki = 82.87 KN

P27 =>  Ix = 0.0042 m⁴ ;       Iy = 0.0012 m⁴ ;    Fki = 82.87 KN

P28 =>  Ix = 0.0041 m⁴ ;       Iy = 0.0013 m⁴ ;    Fki = 82.87 KN

De onde se conclui :

2º  Andar – Pórtico X  =>  Ftx = ((0.0012 + 0.0012 + 0.0013) x 82.87) / 2.76 = 0.111 KN

- Força de translação  – 2º  Andar – Pórtico Y

Sabendo que os pilares pertencentes ao pórtico y são os seguintes : P10 , P20 , P26, P35

Tem-se que :

P10 =>  Ix = 0.0008 m⁴ ;       Iy = 0.0011 m⁴ ;    Fki = 82.87 KN

P20 =>  Ix = 0.0063 m⁴ ;       Iy = 0.009 m⁴ ;     Fki = 82.87 KN

P26 =>  Ix = 0.0042 m⁴ ;       Iy = 0.0012 m⁴ ;    Fki = 82.87 KN

P35 =>  Ix = 0.0013 m⁴ ;       Iy = 0.0005 m⁴ ;    Fki = 82.87 KN

Calculou-se :

2º  Andar – Pórtico y  =>  Fty = ((0.0008+ 0.0063 + 0.0042 + 0.0013) x 82.87) / 1.095 = 0.954 KN

Nota: A tabela de cálculo das Forças de translação é apresentada em Anexo  (Anexo 13).

1.8 – Forças De Rotação :

Foram calculadas forças de rotação para todos os pisos, devido ao facto de o centro de massa não ser coincidente com o centro de rotação. Para o calculo foram consideradas excentricidades adicionais, com o objectivo de corrigir assimetrias devidas ao comportamento não linear da estrutura e a movimentos de rotação do solo durante a ocorrência de um sismo. Para o cálculo do projecto só se consideraram as excentricidades quando a força aplicada tinha um sentido idêntico ao da força de translação, ou seja, para o caso mais desfavorável. Os valores da força de rotação por piso foram obtidos através das seguintes expressões :

Frx  = Ix * y´_i / (å (Ix * y´i²+Iy*x´i² )) * Mt

Fry  = Iy* x´_i / (å (Ix * y´i²+Iy*x´i² )) * Mt

Em que:

Ix – momento de inércia dos pilares em relação ao eixo dos XX .

Iy – momento de inércia dos pilares em relação ao eixo dos YY .

y´i , x´i – Coordenadas do centro de gravidade do pilar em relação ao centro de rotação

Mt – momento torsor provocado pela aplicação da força horizontal com excentricidade adicional mais desfavorável.

q  Exemplo de Cálculo

a)- Força de rotação do pilar P1 – 2º  Andar

Sabendo que para P1 :  Ix = 0.0028 m⁴ ;       Iy = 0.0026 m⁴ ;    Fki = 82.87 KN

å Ix = 1.095 m⁴ ; å Iy = 2.758 m⁴ ; Xi =0.284 m ; Yi=11.04 m

X_CG =  19.53 m  ;            Y_CG = 10.76 m

X_CR = 20.26 m        ;       Y_CR = 9.12 m

å Ix * y´i² + Iy * x´i² = 11.95

a.1) – Cálculo de Frx:

-          x´i = xi – Xcr = 0.284 – 20,26 = -19.976 m

-          y´i = yi – Ycr = 11.04 – 9.12 = 1.92 m

-          Ix * y´i = 0.0028 * 1.92 = 0.005376 m⁵

-           Ix * y´i ² = 0.0028 * 1.92 = 0.01032  m⁶

-          Iy * x´i = 0.0026 * -19.976 = – 0.0519 m⁵

-          Iy * x´i² = 0.0026 * -19,976² = 1.038 m⁶

-          Ix * y´i² + Iy * x´i² = 0.01032 + 1.038 = 1.05

-      Momento torçor: – Para o calculo do momento torçor só foi considerada uma

excentricidade e_2i pois como ilustra a figura seguinte, para esta

direcção trata-se da  excentricidade mais desfavorável.

( Sem escala )

Figura 3 –  Excentricidades mais desfavoráveis em relação ao centro de massa ( Pórtico X )

e_2i = 0.05 x a = 0.05 x 18.78 = 0.94 m  ( Artº 32 do REBAP)

logo :        Mtx = e_2i x Fk = 0.94 x 82.87 = 77.9 KN.m

de onde se conclui que:         Frx = ( 0.0054 x 77.9 ) / 11.95 = 0.0 35 KN

a.2) – Cálculo de Fry:

-          x´i = xi – Xcr = 0.284 – 20,26 = -19.976 m

-          y´i = yi – Ycr = 11.04 – 9.12 = 1.92 m

-          Ix * y´i = 0.0028 * 1.92 = 0.005376 m⁵

-           Ix * y´i ² = 0.0028 * 1.92 = 0.01032 m⁶

-          Iy * x´i = 0.0026 * -19.976 = – 0.0519 m⁵

-          Iy * x´i² = 0.0026 * -19,976² = 1.038 m⁶

-          Ix * y´i² + Iy * x´i² = 0.01032 + 1.038 = 1.05

-          Momento torçor: – Para o calculo do momento torçor só foi considerada uma excentricidade e_2i pois como ilustra a figura seguinte, para esta direcção trata-se da  excentricidade mais desfavorável.

( Sem escala )

Figura 4 –  Excentricidades mais desfavoráveis em relação ao centro de massa ( Pórtico Y )

e_2i = 0.05 x 36.69 = 1.84 m  ( Artº 32 do REBAP)

logo :     Mty = e_2i x  Fk = 1.84 x 82.87 = 153.23 KN.m

de onde se conclui que :                    Fry = ( 0.052 x 153.23) / 11.95 =  0.67 KN

Nota: Para o cálculo das forças de rotação aplicadas no pórtico x calculou-se para os pilares pertencentes a esse pórtico as forças de rotação (da mesma forma que o exemplo de cálculo descrito) correspondentes á direcção x, adicionando-se essas forças de rotação, resulta a força de rotação aplicada no pórtico x.  Para a direcção y procedeu-se de forma análoga  ao referido para a direcção x.

A tabela de cálculo das Forças de Rotação é apresentada em Anexo  (Anexo 14).

1.9 – Calculo das forças sísmicas para utilização no calculo automático

(SAP2000):

De acordo com os Anexos 13 e 14  pode – se determinar as forças sísmicas a aplicar nos pórticos:

		Pórtico x			Pórtico y
Piso	Ft ( KN )	Fr ( KN )	Força sismica aplicada ( KN )	Ft ( KN )	Fr (KN)	Força sismica aplicada (KN)
1	0.056	0.13	0.19	0.48	0.64	1.12
2	0.111	0.26	0.27	.954	1.27	2,22
3	0.17	0.39	0.56	1,43	1,91	3,34
4	0.22	0.52	0.74	1,91	2,55	4,46
Cobertura	0.16	0.38	0.54	1,39	1,86	3,25

Quadro 2 – Quadro resumo das forças sísmicas a aplicar nos pórticos

q  Exemplo de Cálculo Piso 1

Força sismica = Ft + Fr = 0.056 + 0.13 = 0.19 KN

2 – Acção do vento:

Para efeitos de quantificação da acção do vento, de acordo com o Art. 20º / RSA a zona a considerar é a Zona A. Em relação á rugosidade aerodinâmica do solo, de acordo com o Art. 21º / REBAP, considerou-se que este possuía uma rugosidade do tipo I.

Para a quantificação dos esforços devido á acção do vento foi utilizado um método simplificado, supondo aplicadas às superfícies do edifício pressões estáticas obtidas multiplicando a pressão dinâmica do vento, definida no Artº 24º / RSA, por adequados coeficientes de forma.

q  Pressões dinâmicas  – Artº 24 / RSA

Zona A                                                                      Wk = 0.7 KN / m²

Rugosidade – Tipo I

Altura do edifício acima do solo = 5 x 3 = 15 m

q  Determinação dos coeficientes de forma :

- Coeficiente de pressão exterior para paredes d_pe

H = 15 m                                               h/b = 15 / 18.78 = 0.798 => ½  < 0.789 £ 3/2

a = 36.69 m   ( maior  dimensão )

b = 18.78 m   ( menor dimensão )        a/b = 36.69 / 18 .78 = 1.954 => ½ < a/b £ 3/2

Anexo I / RSA

Considerando:  a = 0

Acção global sobre o edifício => A = + 0.7 ( valor em modulo mais desfavorável )

d_{pe =} 0.7

q  Determinação da resultante ( F ) das pressões do vento sobre a construção

F = d_pe x W_k x A     ( Anexo 3.1 / RSA )

Em que :

d_pe => Coeficiente de pressão exterior para paredes

W_k => Valore característico da pressão dinâmica do vento

A => Área de referencia, relacionada com a superfície exposta.

-          Direcção x:

A = 3 x 18.78 = 56.34

Logo:      Fx = 0.7 x 0.7 x 56.34  = 27.6 KN

-          Direcção y:

A = 3 x 36.69 = 110.07

Logo:      Fy = 0.7 x 0.7 x 110.07  = 53.93 KN

Comparando as forças estáticas aplicadas (Fki) por piso provenientes do sismo com as do vento, verifica-se que para a direcção x as forças provenientes do sismo em todo os pisos são mais desfavoráveis. No que se refere á direcção y apenas se verifica que no 1º piso a força devido acção do vento é superior, no entanto como para os restantes pisos (2º,3º,4º, cobertura) as forças sísmicas mostraram ser mais desfavoráveis optou-se por desprezar a acção do vento.

3 – Acção da neve:

De acordo com o Artº 26 /RSA, como o edifício será implantado no distrito de Coimbra a uma altitude de 200m, a acção da neve deve ser tida em conta.

De acordo com artº 27 /RSA para a quantificação da acção da neve , considerou-se uma carga uniformemente distribuída cujo valor característico por metro quadrado em plano horizontal é calculado pela da seguinte expressão:

S_k = m x S_ok

em que;                 S_ok = 1/400 x (h – 50)

sendo:

h – a altitude do local expressa em metros, arredondadas ás centenas;

S_{ok  –} representa o valor característico, por metro quadrado, da carga da

neve ao nível do solo;

m – é o coeficiente que depende da forma da superfície sobre a qual se

deposita a neve.

Como  h = 200m,   então:

S_ok = 1/400 x (200 – 50) = 0.375

De acordo com o Anexo II do RSA ;

Considerando =>   0 £ b £ 30 =>  m = 0.8 => S_k = 0.8 x 0.375 = 0.3 KN/m²

Nota: Sendo a sobrecarga devida á neve ( 0.3 KN / m² ) inferior á sobrecarga considerada na

cobertura devido ao facto de esta ser acessível ( 2 KN / m² ), foi adoptado como critério de

projecto uma sobrecarga na cobertura de 2 KN/ m², ou seja, “desprezou-se a acção da neve.

4 – Dimensionamento das lajes

O painel de laje dimensionado pertence ao 3º piso.

Os exemplos de cálculo apresentados para o dimensionamento das lajes referem-se ás lajes L10 e L13.

q  Exemplo de Cálculo ( L10 ; L13 )

4.1 – Pré- dimensionamento:

a) - Geometria

·       Laje L10

Lmaior  =  7.3 m

Lmenor = 6.2 m

·       Laje L13

Lmaior  =  9.7 m

Lmenor = 6.2 m

b)- relação entre vãos / comportamento da laje:

g = Lmaior / Lmenor ³ 2 => a laje será armada numa direcção só

(segundo a menor direcção)

g = Lmaior / Lmenor < 2 => laje armada nas duas direcções

·       Laje L10

g = 7.3 / 6.2 = 1.18 < 2 =>Laje armada nas duas direcções

·      Laje L13

g = 9.7 / 6.2 = 1.56 < 2 =>Laje armada nas duas direcções

c) –  Condição de dispensa de verificação de segurança ao estado limite de

utilização/ deformação com base no Art. 72º/ REBAP:

hmin ³ li / (30 x h) =( a x l ) / (30 x h)  (m)   (Artg102.2 / REBAP)

Áço A400 => h = 1.0  (Artº 89 /REBAP)

Coeficiente a => Artº 102.2 /REBAP (Quadro XV )

·       Laje L10

hmin ³ 0.6 x 6.2 / (30 x 1) = 0.12 m

·       Laje L13

hmin ³ 0.6 x 6.2 / (30 x 1) = 0.12 m

d) - Espessura de cálculo:

h_cálculo = li / ( 21x h ) = (a x lmenor) / ( 21 x h )  (m)

Áço A400 => h = 1.0  (Artº 89 /REBAP)

Coeficiente a => Artº 102.2 /REBAP (Quadro XV )

• Laje L10

h_cálculo = 0.6 x 6.2 / ( 21 x 1 )  =  0.18 m > 0.12 m , logo

Está garantida a condição do artº 72 /REBAP que dispensa a

verificação da segurança ao E.L.U. (deformação)

·       Laje L13

h_cálculo = 0.6 x 6.2 / (21 x 1)  = 0.18 m > 0.12 m , logo

Está garantida a condição do artº 72 /REBAP que dispensa a

verificação da segurança ao E.L.U. (deformação)

e) - Espessura adoptada:

Com base nos valores obtidos de hmin e h_{cálculo ,} foi adoptada uma espessura de laje.

• Laje L10

h adop. = 0.20 m

·          Laje L13

h adop. = 0.20 m

Nota: Apresenta-se em seguida o pré-dimensionamento de todas as lajes do painel do Piso 3. O pré-dimensionamento de outras lajes que não pertençam a este painel é apresentado no Anexo 5

Laje	Lmaior (m)	Lmenor (m)	Coeficiente g	direcção	Coeficiente a	hmin (m)	hcálculo (m)	hadop. (m)
L1	7,2	6,15	1,17	DUAS	0,6	0,12	0,18	0,2
L2	8,5	6,4	1,33	DUAS	0,6	0,13	0,18	0,2
L4	7,2	4,1	1,76	DUAS	0,5	0,07	0,10	0,2
L5	6,3	4,2	1,50	DUAS	0,6	0,08	0,12	0,2
L7	4,2	2,2	2,00	UMA	0,5	0,04	0,05	0,2
L9	8,2	5,4	1,52	DUAS	0,5	0,09	0,13	0,2
L10	7,3	6,2	1,18	DUAS	0,6	0,12	0,18	0,2
L11	7,9	6,3	1,25	DUAS	0,6	0,13	0,18	0,2
L12	12	6	2,00	UMA	0,8	0,16	0,23	0,2
L13	9,7	6,2	1,56	DUAS	0,6	0,12	0,18	0,2

Quadro 3 – Quadro resumo do pré-dimensionamento de todas as lajes do painel do Piso 3

4.2 – Acções:

a) Permanentes:

-          Peso Próprio (laje) = h adop. x g _betão = 0.20 x 25 = 5,0 KN/m2

-          Revestimento = 1.5 KN/m2

-     Paredes divisórias = P.P.div. x Pé-direito x 40% = 2.0 x 2.8 x 0.4 =

= 2.24 KN/m2 (Artº 15 / RSA )

C.P. (Total) = 5,0 + 1.5 + 2.24  = 8.74 KN/ m2

b) Variáveis:

-          Sobrecarga de utilização =>  2.0 KN/m2 (Artº35 / RSA)

c) Combinações de acções:

-          Estado Limite Ultimo / Combinação fundamental:

qsd, _fund. = 1.5 x C.P. + 1.5 x S.C. = 1.5 x 8.74 + 1.5 x  2.0 = 16.11 KN/m2

-          Estado limite de Utilização / Combinação frequente:

qsd, _freq. = C.P. x 1.0 + S.C x y₁ = 8.74 x 1.0 +  2.0 x 0.3 = 9.34 KN/m2

4.3 – Verificação da segurança

4.3.1 – Verificação em Relação aos Estados Limites Últimos

a) – Verificação da segurança em relação ao Estado Limite Ultimo de rotura por esforço transverso (Artº 53.2 /REBAP):

Para a verificação da segurança em relação ao estado limite ultimo de rotura por esforço transverso, analisou-se a laje mais  mais desfavorável do painel, depois de se traçar as linhas de rotura nas lajes constatou-se que a laje mais desfavoravel do painel era a laje L2.

Laje – L2

( Sem escala )

Figura 5 – Linhas de rotura da Laje L2 para verificação da segurança ao esforço transverso

Sendo:

-  h(laje) = 0.2 m

-  recobrimento = 0.03 m

- d = 0.2 – 0.03 = 0.17 m

Vrd = Vcd + Vwd ³ Vsd

Vwd = 0  ( Não considerando armadura de esforço transverso)

Vcd ³ Vsd

Vcd = 0.6 x (1.6 – d ) x t₁ x d x bw = 0.6 x(1.6 – 0.17 ) x 0.75 x10³ x 0.17 x1=

= 109.4 KN/m

Vsd = qsd, _fund. x a = 16.11 x 4.22 =  67.98 KN/m

Vcd > Vsd => 109.4 > 67.98       Verifica, logo está garantida a segurança ao

esforço transverso

Nota: Apresenta-se em seguida o traçado das linhas de rotura de todas as lajes do painel do piso 3.

( Sem escala )

Figura 6 – Linhas de rotura das Lajes do painel do piso 3, para verificação da segurança ao esforço transverso

b) -Verificação da segurança em relação ao Estado Limite Ultimo de rotura por Flexão

b.1) – Esforços

b.1.1)– Verificação da necessidade de  fazer passeio de sobrecargas

0.4 x C.P. = 0.4 x 8.74 = 3.5 KN/m²

S.C. = 2.0 KN/m² => S.C. < 0.4 x C.P.  ;  logo:  Não é necessário fazer

passeio de sobrecargas

b.1.2) – Cálculo de Esforços

Para o exemplo de cálculo ( L10;L13), utilizando as Tabelas De Barez :

Laje L10

g = a/ b = 6.6 / 6.4 = 1.03

( Sem escala )

Figura 7 – Modelo de cálculo da laje L10 para consulta das tabelas de Barez

Calculando:

Mys = 0.0269 x 16.11 x 6.6² = 18.88 KN/m

Myv^min = -0.0699 x 16.11 x 6.6² = -49.05 KN/m

Mxs = 0.0269 x 16.11 x 6.4² = 17.75 KN/m

Mxv^min = -0.0699 x 16.11 x 6.4² = -46.13 KN/m

Laje 13

g = a/ b = 6.1 / 9.9 = 0.62                                                              

( Sem escala )

Figura 8 – Modelo de cálculo da laje L13 para consulta das tabelas de Barez

Calculando,

Mys = 0.046 x 16.11 x 6.1² = 27.56 KN/m

Myvs = -0.0998 x 16.11 x 6.1² = -59.83 KN/m

Mxs = -0.0089 x 16.11 x 9.9² = 14.05 KN/m

Mxv^min = -0.0309 x 16.11 x 9.9² = -48.79 KN/m

Nota: Procedeu-se de forma análoga para as restantes lajes, adaptando-se os modelos das tabelas de Barez a cada caso especifico, de onde resulta os seguintes resultados :

( Sem escala )

Figura 9 – Figura resumo dos momentos calculados pelas tabelas de Barez

b.1.3) – Compatibilização dos esforços

- Para o exemplo de cálculo ( L10 – L13):

Foram calculados os momentos nas lajes,  com o apoio  das tabelas de Barez.

A compatibilização dos momentos em lajes adjacentes, foi feita  recorrendo á regra de Marcos

Nota: no exemplo de calculo a compatibilização indicada é para a direcção x).

Como os vãos são semelhantes:

Média simples (M_A;M_B) = (M_A + M_B) / 2

M_AB = máx.                                                                                      =>

0.8 x máx. (M_A;M_B)

(-48.79 – 46.13) / 2 = -47.46 KN.m

=> M_AB = -47.46 KN.m

0.8 x máx.(-48.79; – 46.12) = -39.03 KN.m

Figura 10 – Figura exemplo para a compatibilização de esforços

Na compatibilização de momentos, o momento a meio vão da laje L10 deveria ser 16,42  no entanto considerou-se 17.75 por uma questão de segurança.

No que se refere ao momento a meio vão e ao momento do apoio esquerdo da laje L13 representado na figura, (respectivamente 15.38 e –48.79), esses momentos ainda terão de ser compatibilizados com os momentos da laje adjacente L12 (na direcção x).

Em seguida apresenta-se em esquema os momentos compatibilizados:

( Sem escala )

Figura 11 – Esquema resumo dos momentos compatibilizados

b.1.4)-Verificação da segurança em relação ao Estado Limite Ultimo de rotura por flexão:

a) Armadura Principal:

A armadura principal foi calculada a partir dos momentos actuantes

redistribuidos.

·     Laje L10

V= 0.85 x fcd x b x d = 0.85 x 16700 x 1 x 0.17 = 2413.15 (KN/m_laje)

Vd = V x d = 2413.15 x 0.17 = 410.24 (KN.m/m_laje)

m = Msd / Vd = 17.75 x 410.24 = 0.043 < 0.31

(y/d) = 1- Ö (1- 2 m)  = 1 – Ö (1- 2 x 0.043) = 0.044

As =  ((y/d) x V )/ fsyd = (0.044 x 2413.15) / 34.8 = 3.07 (cm²/m)

·     Laje L13

V= 0.85 x fcd x b x d = 0.85 x 16700 x 1 x 0.17 = 2413.15 (KN/m_laje)

Vd = V x d = 2413.15 x 0.17 = 410.24 (KN.m/m_laje)

m = Msd / Vd = 17.27 / 410.24 = 0.042 < 0.31

(y/d) = 1- Ö (1- 2 m)  = 1 – Ö (1- 2 x 0.042) = 0.043

As =  ((y/d) x V )/ fsyd = (0.043 x 2413.15) / 34.8 = 2.98 (cm²/m)

Na Figura 12  pode vêr-se os resultados da armadura, para todos os esforços das lajes do painel e no Anexo 18 a tabela de cálculo utilizada para o cálculo dessa armadura.

( Sem escala )

Figura 12 – Resultados da armadura calculada

b) – Armadura de Distribuição

A armadura de distribuição para todas as  lajes, quando necessária, foi calculada fazendo 20 % da armadura principal, de acordo com o artº 108 º do REBAPE.

c) – Armadura de Controle de Fendilhação:

A armadura de controle de fendilhação é aplicada nos bordos com liberdade de rotação, com o objectivo de minimizar a fendilhação. No projecto apresentado foi contabilizada do seguinte modo:

As _fissuração = 20 % x As_principal

d) – Armadura de canto:

A armadura de canto depende da liberdade de rotação dos apoios, ou seja, para cantos com dois bordos com liberdade de rotação a armadura é igual á armadura do vão, para cantos com um bordo com liberdade de rotação e um bordo encastrado a armadura é igual a metade da armadura do vão, no caso de o canto ter dois bordos encastrados não leva armadura de reforço. A distribuição da armadura de canto é feita num comprimento de:

d = 0.25 x Lmenor + Larg. Apoio /2        ( a contar da face exterior da parede )

e) – Comprimento dos varões :

As _canto = As _fissuração =>  L = 0.25 x L _menor + 35 Æ

As _{sobre o apoio} =>   L = 0.2 x L _menor + 1.5 x d + 35 Æ

4.3.2 – Verificação em Relação aos Estados Limites De Utilização:

a) – Verificação da segurança em relação ao Estado Limite

De Utilização / Fendilhação;

Adoptar-se-ão as disposições construtivas regulamentares que permitem a dispensa da verificação da segurança a este estado limite. Artigos 70.3º,103º,91º /REBAP.

1.5 x h_laje =1.5 x 0.2 = 0.30 m

s £    0.35 m                                        =>  s_máx. = 0.25m

2 x 0.125 = 0.25 m

b) – Verificação da segurança em relação ao Estado Limite De Utilização / Deformação;

A verificação da segurança em relação ao estado limite de utilização/deformação, foi feita para a laje mais desfavoravel ( laje L12 =>  l = 13.1 ).

b.1) – Flecha a curto prazo:

Artigo 72º REBAP

L/400                                                                              6.0/400 = 0.015 m

a_{c Máx.} £ min                                                   Þ        a_{c Máx.} £ min

0.015 m                                                            0.015 m

a_{c Máx.} £ 0.015 m

Calculo da flecha instantânea (ac):

ac = (qsd,_freq x l⁴)/(185xEI) = (9.34 x 6⁴)/(185 x 20343.5) = 3.9×10^-3

a_c £ a_{c Máx.} Verifica  a  flecha a curto prazo

b.2) – Flecha a longo prazo:

Elementos de base:

Asa = 11.81 cm2/m

Asb = 9.63 cm2/m

Lt = 6 m

L2 = 0.75 x vão = 0.75 x 6 = 4.5 m

L1 = 6 – 4.5 = 1.5 m

I = (bx h³)/12 = (1 x 0.2³ ) / 12 = 6.67 x10^-4m⁴

E = 30.5 x 10⁶

EI = 20343.5

Calculo do Mcrit. :

- Percentagem geométrica média das armaduras:

r_{m tracção} = (l1 / lt) x (Asa /b.d) + (l2 /lt) x (Asb/b.d) =

= (1.5 / 6) x (11.81×10^-4 / 1x 0.17) + (4.5/6) x (9.63 x10^-4 / 1 x 0.17) = 0.005985

r_{m compressão} = (l1 / lt) x (Asb /b.d)  = (1.5/6) x (9.63×10^-4 / 1x 0.17) = 0.001416

fctm^(tracção) = 2.5 MPa   (artº 16 /REBAP)

fctm^(flexão) = fctm^(tracção) x [0.6 + (0.4/ ⁴Ö h)] = 2.5 x [0.6 + (0.4/ ⁴Ö 0.2)] =2.99 Mpa

fctm^(flexão) = Mcrit./W Û Mcrit. = fctm^(flexão) x W Û Mcrit. = fctm^(flexão) x (b.h²/6)

Û Mcrit. = 2.99×10³ x (1 x 0.20²/6) = 24.7 KN.m/m

Msd,freq = (qsd,freq. x l² )/14.2 = (9.34 x 6² / 14.2) = 19.9 KN.m/m

logo,      Mcrit  > Msd,freq  , então a flecha a longo prazo é dada por:

a_¥ = ac x (1 + j) , considerando um coeficiente de fluência de 2.5

a_¥ = 3.9×10^-3 x (1 + 2.5) = 0.01365 m

Verificando a flecha :   ( Art. 72.2º / REBAP )

L / 400   = 13.1 / 400 = 0.03275 m

dmax <

0.015 m

Como  a_{¥ =} 0.01365 m < 0.03275 m     Está garantida a segurança em relação ao estado limite de deformação

5 - Dimensionamento da Laje de escadas

As lajes de escada foram calculadas como lajes armadas numa só direcção e ao contrário das lajes convencionais, foram armadas segundo o maior vão de acordo com os modelos de cálculo indicados.

a) – Pré – Dimensionamento da Laje :

h ³ l / 25

h ³ 3,95 / 25 = 0.16 m

h _{laje adot.} =  0.20 m

b) – Geometria:

Espelho = Altura a subir_(total) / nº de fucinhos_(total) = 3,20 x 21= 0.153 m

Cobertor = comprimento do lanço / nº de degraus = 1,76 / 8 = 0.22 m

a=arc tg ( 0.153 / 0.22 ) = 35,44°

( Sem Escala )                                                                             ( Sem Escala )

Figura 13 – Definição geométrica do degrau                           Figura 14 – Definição geométrica das escadas e modelo

de cálculo adoptado

c) -Acções:

Revestimento                 => 1,5   KN/m ²

S.C. Escada                    =>  5  KN/m ²

Peso Próprio (laje)          =>  5  KN/m ²

Peso Próprio (degraus)     =>  2,5  KN/m ²

d) -Cálculo dos esforços:

q   Lanço  B – C:

( Sem escala )

Figura 15 – Modelo de cálculo do lanço B – C

å M_A = 0 Û -5 x 1,63 x 0,815 – 2,5 x 0,53 x 0,815 – 1,5 x 0,55 x 1,35 – 5x 0,55 x 0,27

– 1,84 x 0,53 x 0,815 – 5 x 0,55 x 1,35 – 5 x 0,55 x 0,27 – 6,14 x 0,53 x 0,815 + R2 x

1,63 =0 Û R2 = 9,26 (KN)

å F_v = 0 Û 9,29 – 5×1,36 – 2,5 x 0,53 – 1,5 x 0,55 – 5 x 0,55 – 1,84 x 0,53 – 5 x 0,55 –

5 x 0,55 – 6,14 x 0,53 + R1 = 0 Û R1 = 12,14 (KN)

Mmáx. =12,14 x 0,92 – 5x 0,92 x 0,46 – 2,5 x 0,37 x 0,185 – 1,5 x 0,55 x 2,125 – 1,84 x

0,37 x 0,1845 – 5 x 0,55 x 2,125 – 6,14 x 0,37 x 0,185 = 0,74 (KN.m)

Msd = 1,5 x 0,74 = 1,11(KN.m)

Vsd = 1,5 x 12,14 = 18,21 (KN)

q   Lanço C – D:

( Sem escala )

Figura 16 – Modelo de cálculo do lanço C – D

å M_A = 0  Û -5 x 4,33 x 2,165 – 2,5 x 2,139 x 2,069 – 1,5 x 1,19 x 3,734 – 1,5 x 1 x

0,5 – 1,83 x 2,139 x 2,069 – 5x 1,19 x 3,734 – 5 x 1 x 0,5 x 6,1 x 2,139 x 2,069 – 9,26

x1 x0,5 + RB x 4,33 = 0 Û RB = 29,98 (KN)

åFv = 0 Û 29,98 – 5 x 4,33 – 2,5 x 2,139 – 1,5 x 1,19 – 1,5 x1 –1,83 x 2,139 – 5 x 1,19

– 5×1 –6,1 x 2,139 – 9,26 x 1 + RA= 0

Mmáx. = 37,47 x 2,4 – 5 x 2,4 x 1,2 – 2,5 x 1,4 x 0,7 – 1,5 x 1 x 1,9 – 1,83 x 1,4 x 0,7 –

5 x 1x 1,9 – 6,1 x 1,4 x 0,7 – 9,26 x 1x 1,9 = 35,36  KN.m

Msd = 1,5 x 35,36 = 53,04 KN.m

Vsd = 1,5 x 37,47 = 56,21 KN

e) – Verificação da segurança ao E.LU. :

e.1) -Flexão:

rec. = 0,03m

d = 0,20 – 0,03 = 0,17 m

B30 => fcd = 16700

A400 => fsyd = 348000

q        Lanço 2 – 3 :

Msd = 1,11  KN.m

m = 0.003 < 0.31

As = 2,55 (cm²/m) => f 8 // 0,10

As,dist. =0.2 x 2,55 = 0.51(cm²/m) => f 6 // 0,20

As,min.= (0,15 x 0,17 x 1) /100 = 2,55 (cm²/m)

As, fend. =0.2 x As = 0.2 x 2.55 =0.51 (cm²/m) =>

=>  As, fend = As,min.= 2,55 (cm²/m) => f 8 // 0,10

q        Lanço 1 – 2 :

Msd = 53.04  KN.m

m = 0.129 < 0.31

As = 9.64 (cm²/m) => f 12 // 0,10

As,dist. =0.2 x 9.64 = 1.93 (cm²/m) => f 8 // 0,20

As,min.= (0,15 x 0,17 x 1) /100 = 2,55 (cm²/m)

As, fend. =0.2 x As = 0.2 x 9.64 =1.928 (cm²/m) =>

=>  As, fend = As,min.= 2,55 (cm²/m) => f 8 // 0,10

e.2)– Esforço transverso :

q        Lanço 2 – 3:

Vsd = 18,21 KN

Vrd = 0,6 x ( 1,6 – d ) x t₁ x d x b = 0,6 x (1,6 – 0,17) x 750 0,17 x 1=109,40 KN

Vrd > Vsd => Dispensa-se a armadura de esforço transverso

q        Lanço 1 – 2:

Vsd = 56,21 KN

Vrd = 0,6 x ( 1,6 – d ) x t₁ x d x b = 0,6 x (1,6 – 0,17) x 750 0,17 x 1=109,40 KN

Vrd > Vsd => Dispensa-se a armadura de esforço transverso

f )-Verificação da segurança ao E.L.Utilização

f.1) – Deformação:

Tendo-se cumprido as condições impostas nos artigos 102º ( li / h < 30 h), e no artº 113, ficamos dispensados da verificação do estado limite de deformação, como consta no artº 72.3 (R.E.B.A.P.).

f.2) – Fendilhação:

Tendo-se  adoptado as disposições construtivas regulamentares que permitem a dispensa da verificação da segurança a este estado limite Art. 70.3º , 105º, 91º / R.E.B.A.P. .

Pode-se dispensar a verificação de fendilhação desde que se verifique os espaçamentos impostos pelos artigos referidos anteriormente.

Espaçamento máximo entre varões (armadura principal):

s £  1,5 x h      s £  1,5 x 0.2       s £  0.30 m

=> s £ 0.30 m

s £ 0,35           s £ 0,35              s £  0.35 m

Espaçamento mínimo, artº 77(R.E.B.A.P.):

s ³ f  varões   s  ³ 0,010 m

=> s ³ 0.02 m

s ³ 0,02          s ³ 0,02 m

6 – Pórticos

As viga (V9.1 ; V9.2 ; V9.3), o Pilar (P26) assim como os respectivos pórticos escolhidos para o dimensionamento, são os indicados na figura seguinte :

( Sem escala )

Figura 17 – Definição dos pórticos

O cálculo dos esforços nas estruturas foi efectuado recorrendo ao programa de cálculo automático SAP2000 que se baseia  no método dos elementos finitos, para a utilização do referido programa procedeu-se do seguinte modo:

1º Criou-se um novo modelo;

2º Definiu-se as secções materiais e acções bem como a combinação de acções;

3º Definiu-se geometricamente a estrutura, definindo-se os elementos de barra com as respectivas;

secções associadas e criaram-se nós atribuindo-lhes as restrições necessárias;

4º Aplicaram-se as acções nas barras e nos nós;

5º Calculou-se a estrutura;

6º Visualizou-se e analisou-se os resultados.

Para o dimensionamento da viga foram utilizados os diagramas resultantes  da envolvente de esforços e para o dimensionamento dos pilares foram  utilizados os diagramas provenientes da combinação fundamental correspondente ao Estado Limite Ultimo, pois este em todos os aspectos, mostrou-se mais desfavoravel, do que a combinação devido ao sismo.

Os resultados do SAP 2000 são apresentados em Anexo. ( Anexos : 15 , 16 )

7 – Dimensionamento das Vigas

As vigas a dimensionar são as vigas V6 (V6.1,V6.2) e V9 (V9.1,V9.2,V9.3), pertencentes ao 4º piso, cujas dimensões foram obtidas do pré-dimensionamento, tendo em conta o artº 89/REBAP (ver em Anexo 6 ).

As referidas vigas serão calculadas para a flexão simples, embora exista esforço normal resultante do modelo de cálculo.

Os esforços obtidos para as várias secções são os retirados do pórtico X e do pórtico Y, através da resolução estrutural a duas dimensões efectuada no programa de cálculo automático SAP2000. Os esforços utilizados para o dimensionamento das vigas é referente á envolvente de esforços.

7.1) -Viga do Pórtico x ( V_6.1-V_6.2 )

A – Armadura Inferior

A viga será armada uniformemente, ou seja, verificamos para a viga qual o momento máximo positivo, conseguindo assim evitar interrupções da armadura e perlongando esta armadura nos apoios de continuidade sem ser necessário efectuar amarrações em secções intermédias   ( só se faz armação no início  e no fim da viga aquando na amarração ao pilar ).

Comprimento total da viga   =>  L = 3.3 + 4.5 = 7.8 m

Os esforços resultantes do SAP 2000 são apresentados em Anexo.

Vigas do 4º Piso

Esforços

0.2

M                                                                                                                                       Secção da viga

0.4

V

(Sem escala)

Figura 18 – Diagrama da envolvente de momentos e esforço transverso da viga V6

7.1.1) -Cálculo da armadura para resistir a flexão

M _máx⁺ = 33.74   ( tabelas do LNEC)

Considerando 2.5 cm de recobrimento : d = 0.4 – 0.025 = 0.375 m

As _mín = ( r b d) / 100 = ((0.15 x 0.2 x 0.375) / 100) x 10⁴ = 1.125 cm²

As _máx = 0.04 x b x h = 0.04 x 0.2 x 0.4 =3.2 x 10^-3 = 32 cm²

Tabela nº 2  ( tabelas do LNEC)

m = (M s d ) / (b d²) = 33.74 / (0.2 x 0.375² x 1000) = 1.2

m = 1.3

B₃₀

a = 0.146  => x = 0.146 x 0.375 = 0.055

r = 0.364

As = ((0.364 x 0.2 x 0.375) / 100) x 10⁴ = 2.73 cm² => A s _adopt = 2.73 cm²

resoluvel com : 4 Ø 10                                                                                                                                ( A s = 3.14 cm² )

• Espaçamento mínimo

Ø escolhido      s ≥ 1 cm

s ≥                                                                                                            s _min ≥ 2 cm

2 cm                             s ≥  2 cm

	4 Ø 10

• Espaçamento máximo (Artº 91/ REBAPE)

0.20

Ambiente moderadamente agressivo

s _máx ≤ 0.075 m = 7.5 m

b’ = b – 2 x rec – 2 x Ø estribos = 0.2 – 2 x 0.008 = 0.134 m

s = (b’ – n x Ø ) / (n-1) = (0.134 – 4 x 0.010) / (4 – 1) = 0.0313 m = 3.13 cm

s = 3.13 cm     > s _min e < s _máx

7.1.2) -Calculo da armadura para resistir ao esforço transverso (Artº 53 /REBAP)

Vsd _máx = 83.85 KN

Segurança em relação à compressão das escoras da treliça de Morsch( Art 53.4 / REBAP )

• Vrd _máx. = ?

Vrd _máx = t₂ x b w x d =5 x 10³ x 0.2 x 0.375 = 375 KN > Vsd = 83.85 KN, logo

conclui-se que fica garantida a segurança  das escoras da treliça de Morsch.

• Vcd = ?

Vcd = t₁ x b w x d = 0.75 x 10³ x 0.2 x 0.375 = 56.25 KN = 0  ,

De acordo com o Art 143.5 / REBAP numa zona de extensão igual a 2d ( 2 x 0.375 = 0.75 ), o termo Vcd = 0 (a secção de  Vsd _máx é perto do apoio).

• Vwd = ?

Vrd > Vsd

Vrd = Vwd + Vcd

Vwd ≥ Vsd – Vcd ó Vwd ≥ 83.85 KN

• (Asw / s) = ?

(Asw / s) ≥ (Vwd / 0.9 d x f s y d ) =  83.85 / (0.9 x 0.375 x 348 x 10³) = 7.139 x 10^-4 m²/m

(Asw / s) _min ≥ ( rw x sen a x bw) / 100 = (0.1 x sen 90 x 0.2) / 100 = 2 x 10^-4 m²/m

(Asw / s) _adot ≥ 7.139 cm²/m

7.1.3)- Afastamento dos estribos     :  ART 94º / REBAP

Vsd = 83.85 KN

(1/6) t₂ x b w d = (1/6) x 5 x 10³ x 0.2 x 0.375 = 62.5

(2/3) t₂ x b w d = (2/3) x 5 x 10³ x 0.2 x 0.375 = 250

=>  Zona em que (1/6) t ₂ x b w d = 62.5 < Vsd = 83.85 ≤ (2/3) t ₂ x bw x d = 250

s ≤ 0.5 d com o máximo de 25 cm

Art 94.3

s ≤ 0.5 x 0.375 = 0.1875 m

s ≤ 0.1875 m = 18.75 cm

Contudo, de acordo com o artigo 143.6, os estribos para as zonas junto aos pilares devem ter um espaçamento máximo de 0.25 d com o máximo de 15 cm.

0.25 x 0.375 = 0.1

logo s ≤ 0.1 cm →  com o primeiro estribo a situar-se a uma distância da face do pilar não superior

a 5 cm.

s_adot = 10 cm

7.1.4-Estribos:

a) O primeiro estribo será colocado a uma distância nunca superior a 5 cm da face do pilar

(Art 143.6).

Seja          s = 0.10 m

então  (Asw / s) = 7.139 ó Asw = 7.139 x 0.10 = 0.714 cm² utilizando 2 Ø 8 // 0.10 (1.01 cm²)

com dois ramos.

Note-se que a distância entre os dois ramos de cada estribo não excede os 60 cm nem excede a altura útil da viga, tal como é exigido no terceiro parágrafo da Art 94.1 da REBAP.

b) Zona Central

Na zona central da viga existe um troço no qual a segurança em relação ao esforço transverso fica garantida com os estribos correspondentes à percentagem mínima regulamentar.

Este troço fica limitado pelas secções onde o valor de cálculo do esforço transverso é

Vsd = Vcd + Vwd,min = 56.25 +0.9 d x (Asw / s) x f s y d  =  56.25 + 0.9 x 0.375 x 0.0002 x 348 x 10³ = 79.74KN

Vendo qual a diagrama mais desfavorável

V 6.1

Como se indica no diagrama Vsd, o referido troço situa-se na zona central da viga apresentando um comprimento

V 6.2

(Sem escala)

Figura 19 – Diagrama da envolvente de esfoço transverso a meio vão da viga V6

Verifica-se que no lado direito não se chega a atingir os 79.74 KN, logo ficamos condicionados apenas pelo lado esquerdo. No entanto iremos colocar estribos correspondentes à percentagem mínima num troço algo menor centrado.

L = 1.5 m ( para cada lado a contar do eixo de simetria)

Adoptando para estes estribos (s = 0.20) teremos

(Asw / s) = 0.0002 ó Asw ≥ 0.0002 x 0.20 x 10⁴ ó Asw ≥ 0.4 cm²

Note-se que a distância entre os dois ramos de cada estribo não excede 60 cm nem excede a altura útil da viga, como se exige no 3º parágrafo do Artº 94/REBAP.

B- Armadura superior:

Esforços

(Sem escala)

Figura 20 – Momentos mais desfavoráveis considerados para o cálculo da armadura

7.1.5 – Cálculo da armadura

Calculou-se a armadura para os momentos mais desfavoráveis nos apoios;

• M₁ = -25.4 KN ( tabelas do LNEC – Nº2)

m = 25.4 / (0.2 x 0.375² x 1000) = 0.9

m = 0.9                 a  = 0.123       =>     x = 0.123 x 0.375 = 0.04613

ó

B30                        r = 0.271

As = ((0.271 x 0.2 x 0.375) / 100) x 10⁴ =2.0325 cm²

As₁ = 2.0325 cm²

• M₂ = -48.85

m= 48.85 / (0.2 x 0.375² x 1000) = 1.737

m = 1.737              a  = 0.1854      =>     x = 0.1854 x 0.375 = 0.07

ó

B30                        r = 0.535

As = ((0.535 x 0.2 x 0.375) / 100) x 10⁴ = 4.013 cm²

As₂ = 4.013 cm²

• M₃ = -61.71

m = 61.71 / (0.2 x 0.375² x 1000) = 2.2

m = 1.737              a  = 0.222      =>     x = 0.222 x 0.375 = 0.0833

ó

B30                        r = 0.694

As = ((0.694x 0.2 x 0.375) / 100) x 10⁴ = 5.21 cm²

As₃ = 5.21 cm² 2 Ø 12 => As = 2.26 cm²

7.1.6) – Escolha de diâmetros para a armadura superior:

• M₁ ® Pondo de inicio uma armadura de 2 Ø 12 ( 2.26) a correr toda a face superior da viga como do cálculo só preciso de  As = 2.033, não é necessário reforço.

• M₂ ® As = 4.013 cm²

4.013 – 2.26 = 1.753  => reforço 2 Ø 12 ® 2.26 cm²

L₂ = 0.2 x 4.5 + 1.5 x 0.375 = 1.2 m

Lt = L₁ +L₂ = 1.2 + 1.5 = 2.7  m

• M₃ ® As = 5.21

5.21 – 2.26 = 2.95  =>  reforço 2 Ø 16 ® 4.02 cm²

L = (1/4) l + 35 Ø = (1/4) x 4.5 + 35 x 0.016 = 1.545m  => L = 2 m ( corte certo )

1.2 cm

s ≥

2 cm

b’ = 0.2 – 2 x 0.025 – 2 x 0.008 = 0.134cm

s = (0.134 – 5 x 0.012 ) / (5 – 1) = 0.0165 Þ 1.88 » 2 cm

7.1.7 – Verificação do espaçamento mínimo entre varões:

Nota : A dobra dos ferros deverá ser executada de acordo com o Art 79 / REBAP.

2 Ø 12

Corte 1 (Vêr em peças desenhadas)

• Inferior

4 Ø 10

1 cm

s ≥

2 cm

b’ = b – 2 x rec – 2 x Ø estribos = 0.2 – 2 x 0.025 –2 x 0.008 = 0.13cm

s = (b’ – n x Ø estribos) / (n-1) = (0.134 – 4 x 0.010) / 3 = 3.13 cm

• Superior

1.2 cm

s ≥                         ó   s ≥  2 cm

2 cm

b’ = b – 2 x rec – 2 x Ø estribos = 0.2 – 2 x 0.025 –2 x 0.012 = 0.126cm

s = (b’ – n x Ø estribos) / (n-1) = (0.126 – 4 x 0.012) / 1 = 10.2 cm

Corte 2 e 5 (Vêr em peças desenhadas)

• Inferior

s= 3.13 cm

• 4 Ø 10

  Superior

s = 10.2 cm

Corte 3 e 4 (Vêr em peças desenhadas)

	4 Ø 12

• Inferior

s = 3.13 cm

• 4 Ø 10

  Superior

1.2 cm

s ≥                         ó   s ≥  2 cm

2 cm

b’ = b – 2 x rec – 2 x Ø estribos = 0.2 – 2 x 0.025 –2 x 0.008 = 0.134cm

s = (b’ – n x Ø estribos) / (n-1) = (0.134 – 4 x 0.012) / 3 = 2.86 cm

Corte 6

• 2 Ø 12

  Inferior

s = 3.13 cm

	4 Ø 10

• Superior

Ø _n = √ (0.012² – 0.016²)= 0.02 m

s ≥

2 cm

b’ = b – 2 x rec – 2 x Ø estribos = 0.2 – 2 x 0.025 –2 x 0.008 = 0.134cm

s = (b’ – n x Ø estribos) / (n-1) = (0.134 – 2 x 0.012) / 1 = 9.4 cm

7.2) – Viga do Pórtico Y ( V_9.1 ; V_9.2 , V_9..3 )

A) -  Armadura Inferior

Optou-se por armar a viga uniformemente, ou seja, analisaram-se os momentos máximos positivos do tramo V_9.3 (M = 169.20 KN m), uniformizou-se a armadura inferior ao longo de toda a viga (em relação à armadura superior) e analisaram-se os momentos máximos negativos dos tramos.

0.2

Comprimento total da viga, L = 1.8 + 6.3 + 6.1 = 14.2

M

V

(Sem escala)

Figura 21 – Diagrama da envolvente de momentos e esforço transverso da viga V9

7.2.1) -Cálculo da armadura para resistir a flexão

M _máx⁺ = 169.20 (KN m)

rec = 0.025 m

d = 0.5 – 0.025 = 0.475 m

As _mín = ( r b d) / 100 = ((0.15 x 0.2 x 0.475) / 100) x 10⁴ = 1.43 cm²

As _máx = 4% x b x h  = 0.04 x 0.2 x 0.5 x 10⁴ = 40 cm²

Tabela nº 2  (LNEC “livro azul”) => Flexão simples

m = (M s d ) / (b d²) = 169.20 / (0.2 x 0.475² x 1000) = 3.75

m = 3.75                 a  = 0.3895

B₃₀ r = 1.2865

As = (r b d) / 100 = ((1.2865 x 0.2 x 0.475) / 100) x 10⁴ = 2.73 cm² ó As = 12.22 cm²

As _adot = 12.22 cm² => 4 Ø 20 (12.57cm²)

7.2.2) – Cálculo da armadura para resistir ao esforço transverso:

• Vsd _máx. = ?

Vsd _máx = 235.95 KN

Segurança em relação à compressão das escoras da treliça de Morsch ( Art 53.4 / REBAP ).

• Vrd _máx = ?

Vrd _máx = t₂ x b w x d =5 x 10³ x 0.2 x 0.475 = 475 KN > Vsd = 235.95

Conclui-se que fica garantida a segurança  das escoras da treliça de Morsch.

• Vcd = ?

Vcd = t₁ x b w x d = 0.75 x 10³ x 0.2 x 0.475 = 71.25

No entanto, de acordo com o Art 143.5 / REBAP numa zona de extensão igual a 2d

(2 x 0.475 = 0.95 ), o termo Vcd = 0, pois a secção onde ocorre Vsd _máx é perto do apoio.

Vcd < Vsd

• Vwd = ?

Vrd > Vsd

Vrd = Vwd + Vcd

Vwd ≥ Vsd – Vcd ó Vwd ≥ 235.95 KN

• (Asw / s) = ?  (Art 53.3 / REBAP)

(Asw / s) ≥ (Vwd / 0.9 d x f s y d ) =  235.95 / (0.9 x 0.475 x 348 x 10³) = 1.59 x 10^-3 m²/m

(Asw / s) _min ≥ ( rw x sen a x bw) / 100 = (0.1 x sen 90 x 0.2) / 100 = 2 x 10^-4 m²/m

(Asw / s) _adot ≥ 1.59 x 10^-3 m²/m = 15.86 cm²/m

7.2.3)- Afastamento dos estribos     :  ART 94º / REBAP

Vsd = 235.95 KN

(1/6) t ₂ x b w d = (1/6) x 5 x 10³ x 0.2 x 0.475 = 79.17 KN

(2/3) t₂ x b w d = (2/3) x 5 x 10³ x 0.2 x 0.475 = 316.67 KN ,

assim;

(1/6) t ₂ x b w d = 79.17 KN < Vsd =235.95 ≤ (2/3) t ₂ x b w d = 316.67 KN

s ≤0.5 d com o máximo de 25 cm

Art 94.3

s ≤ 0.5 x 0.475 = 0.2375 m

s máx =0.2375 m

Contudo, de acordo com o artigo 143.6, os estribos para as zonas junto aos pilares devem ter

um espaçamento máximo de 0.25 d com o máximo de 15 cm.

0.25 x d = 0.25 x 0.475 = 0.11875m

logo s _máx = 11.875 cm ►  com o primeiro estribo a situar-se a uma distância da face do pilar

não superior a 5 cm.

s _adot = 10 cm = 0.10 m

7.2.4 )- Estribos

a ) O primeiro estribo será colocado a uma distância nunca superior a 5 cm da face do pilar (Art 143.6).

Seja s = 0.10

então  (Asw / s) = 15.86 ó Asw = 15.86 x 0.10 = 1.57 cm² utilizando 2 Ø 10 // 0.70 (1.57) com dois ramos.

Note-se que a distância entre os dois ramos de cada estribo não excede os 60 cm nem excede a altura útil da viga, tal como é exigido no terceiro parágrafo da Art 94.1/ REBAP.

b ) Zona Central

Na zona central da viga existe um troço no qual a segurança em relação ao esforço transverso fica garantida com os estribos correspondentes à percentagem mínima regulamentar.

Este troço fica limitado pelas secções onde o valor de cálculo do esforço transverso é

Vsd = Vcd + Vwd,min  = 71.25 + 0.9 x d x  (Asw / s)  x fsyd  =

= 71.25 + 0.9 x 0.475 x 0.0002 x 348 x 10³ = 101 KN

Vendo qual a diagrama mais desfavorável

V9.2

V9.3

(Sem escala)

Figura 22 – Diagrama da envolvente de esforço transverso a meio vão da viga V9

Nota : Adopta-se 0.8 m para cada lado em ambas as vigas (V9.2 e V9.3), para a armadura mínima dos estribos. No entanto para a V9.1 a armadura dos estribos é a de cálculo.

• Cálculo para a armadura mínima dos estribos (para a dispensa)

Adoptando para estes estribos (s = 0.20) teremos

(Asw / s) mín = 0.0002 ó Asw ≥ 0.0002 x 0.20 x 10⁴ ó Asw ≥ 0.4 cm² => Est Ø 8 // 0.20 com dois ramos.

Note-se que a distância entre os dois ramos de cada estribo não excede 60 cm nem excede a altura útil da viga, como se exige no Art 94 / REBAP.

B- Armadura superior

7.2.5) – Cálculo da armadura

• M₁ => Msd = -225.5 (constante nas tabelas do LNEC – nº2)

m = 225.5 / (0.2 x 0.475² x 1000) = 5.00

m = 5.00                a  = 0.571      =>     x = 0.571 x 0.475 = 0.271

ó

B30                        r = 1.884

As = (r b d) / 100 = ((1.884 x 0.2 x 0.475) / 100) x 10⁴ = 17.9 cm² ó As = 17.9 cm²

• M₂ => Msd = -316.58 KN.m

m = 316.58 / (0.2 x 0.475² x 1000) = 7.00

V = 0.85 x 16700 x 0.2 x 0.475 = 1348.52

Vd = 1348.52 x 0.475 = 640.54

M = 316.58 / 640.54 = 0.49 > 0.31

=> A rotura dá-se por esmagamento do betão logo, temos de pôr armadura superior de compressão.

Tabela 6 (LNEC)

			A

A’

a = 0.025             a / d ≈ 0.05

d = 0.475

m = ( Mrd ) / (b.d².fcd) = 316.58 / (0.2 x 0.475² x 16.7 x 10³) = 0.420

A / A’ =  0.30              a  = 0.511      =>     x = 0.511 x 0.475 = 0.24m

ó

m = 0.420                     r = 0.502

A = (r x b x d x f c d) / (f s y d) = ((0.502 x 0.2 x 0.475 x 16.7) / 348) x 10⁴ =21.88 cm²

A’ = 0.3 x 21.88 = 6.56 cm² =>  Armadura inferior de reforço

• M₃ => Msd = -237.98

m = 237.98 / (0.2 x 0.475² x 1000) = 5.30

m = 5.30                a  = 0.622      =>     x = 0.622 x 0.475 = 0.295

ó

B30                        r = 2.055

As = (r b d) / 100 = ((2.055 x 0.2 x 0.475) / 100) x 10⁴ = 19.52 cm²

7.2.6)- Escolha de diâmetro para a armadura superior :

• M₁ => As = 17.9 cm²

17.9 – 2.26 = 15.64 cm² => 4 Ø 25 (19.64cm²)

L₁ = 0.2 l_V9.1 + 1.5 d = 0.2 x 1.8 +1.5 x 0.475 = 1.01 ≈ 1.2m

L₂ = 1.8 x 35 x 0.025 =2.68m

L_total = 3.75 ≈ 4 m

• M₂ => As = 21.88 cm²

21.88 – 2.26 = 19.62 cm² => 4 Ø 25 (19.64cm²)

L₁ = 0.2 l_V9.2 + 1.5 d = 0.2 x 6.3 +1.5 x 0.475  ≈ 2 m

L₂ = 0.2 l_V9.3 + 1.5 d = 0.2 x 6.1 +1.5 x 0.475  ≈ 2 m

L_total = 4 m

A’ => Armadura inferior de reforço

A’ = 6.56 cm² =>  Devido ao facto da armadura para a M _máx⁺ = 169.20 (KN m) de

12.22 cm², fica garantida sobre o apoio a armadura A’

• M₃ => As = 19.52 cm² (apoio com liberdade de rotação)

19.52 – 2.26 = 17.26 cm² => 6 Ø 20 (18.85)

L = 0.25 l_V9.3 + 1.5 d + 35 Ø = 0.2 x 6.1 +1.5 x 0.475 + 35 0.025 = 3,37 m

L_total ≈ 4.00 m

7.2.7) -Verificação do espaçamento mínimo entre varões:

Nota : A dobra dos ferros deverá ser executada de acordo com o Art 79 / REBAP.

Corte 1, 2, 4, 5, 7 (vêr em peças desenhadas)

• Superior

Ø _n1 = √ (0.02² + 0.012²)= 0.023

s ≥         Ø _n2 = √ (0.62² x 2)= 0.028                ó   s ≥ 2.8 cm²

2 cm

b’ = b – 2 x rec – 2 x Ø estribos = 0.2 – 2 x 0.025 –2 x 0.010 = 0.13 m

s = (b’ – n x Ø estribos) / (n-1) = (0.13 – 2 x 0.023 + 0.028) / 2 = 0.028 m

• Inferior

Ø _n = √ (0.02² x 2)= 0.028

s ≥                                                                                         ó  s ≥ 2 cm

2 cm

s = (b’ – n x Ø estribos) / (n-1) = (0.134 – 2 x 0.02) / 1 = 0.094 m

Corte 3, 6 (vêr em peças desenhadas)

	2 Ø 12

• Superior

4 Ø 20

1.2 cm

s ≥                          ó  s = 2 cm

2 cm

b’ = b – 2 x rec – 2 x Ø estribos = 0.2 – 2 x 0.025 –2 x 0.008 = 0.134 m

s = (b’ – n x Ø estribos) / (n-1) = (0.134 – 2 x 0.012) / 1 = 0.11 m

• Inferior

Ø _n = √ (0.02² x 2)= 0.028

s ≥                                                                                                     ó  s ≥ 2.8 cm

2 cm

s = (b’ – n x Ø estribos) / (n-1) = (0.134 – 2 x 0.028) / 1 = 0.078 m

Nota : Os esforços para as vigas,  resultantes do SAP2000 podem ser vistos com mais pormenor em anexo ( Anexos 19 , 20 )

8 – Dimensionamento do pilar

No projecto apresentado foi feito um pré-dimensionamento dos pilares com base na seguinte expressão:

Ac ³  Nsd / ( 0.85 x fcd )

É de referir que de acordo com o Artº 120 / REBAP, a dimensão mínima da secção transversal não deve ser inferior a 20 cm. Para um melhor comportamento estrutural, uma melhor optimização da mão de obra optou-se, como critério de projecto, não alterar a secção do pilar em toda a sua extensão. O pré-dimensionamento e as secções dos pilares é apresentada em Anexo.

( Anexo 7 ).

Utilizou-se o programa de cálculo automático SAP2000 para obter os esforços  que actuam nas várias secções do pilar na direcção X e na direcção Y.

Recorrendo-se  ao artigo 59º do REBAP, calculou-se o comprimento efectivo   (l₀ = h * l ), em seguida a esbelteza da peça ( l = l₀/ i , i – raio de giração ).

Para a Verificação da segurança dos pilares verificou-se as disposições regulamentares nos Artigos : 61º, 62º, 63º / REBAP.

No que se refere ao cálculo da armadura utilizou-se as tabelas de cálculo

Esforços Normais de Flexão ( LNEC ) e tentou-se uniformizar a armadura do pilar em toda a sua extensão.

O exemplo de cálculo apresentado em seguida refere-se ao dimensionamento do pilar P26

( Piso 1).

q  Exemplo de cálculo Pilar   P26

Secção:

(Sem escala)

Figura 23 – Secção do pilar P26

a) Classificação da estrutura

Com base no estipulado no Art 58 / REBAP procedeu-se á classificação da estrutura:

h _tot ´ Ö ((å N) / (åE I)) ≤  h  =>  Nós Fixos

B30 =>  E = 30.5 ´ 10⁶ KPa

η = 0.6 =>  o número de andares do edifício é superior a 4

h _tot = 7 ´ 3 = 21 m

å E I = 30.5 ´ 10⁶ ´ Ix

• Direcção x

å N = 37502.8  KN

E Ix = 1.0946 m⁴

21 ´ Ö ((-37502.8) / (30.5 ´ 10⁶ ´ 1.0946)) = 0.704

0.704 > 0.6  =>  Nós móveis

• Direcção y

å N = 37502.8 KN

E Iy = 2.76 m⁴

21 ´ Ö ((-37502.8) / (30.5 ´ 10⁶ ´ 2.76)) = 0.44325

0.44325 < 0.6  =>  Nós fixos

Nota : Uma vez que na direcção X,   h _tot ´ Ö ((S N) / (S E I)) = 0.704 > 0.6 , o que implicaria ser uma estrutura de nós móveis ( embora a diferença não seja substancial), poder-se-á considerar que a estrutura é de nós fixos. Como critério de projecto  a análise posterior será feita, quer na direcção x quer na direcção y, para uma estrutura de nós fixos.

b) Cálculo dos coeficientes a

-          Direcção x

I pilar = (b x h³) / 12 = (0.55 x 0.3³) / 12 =0.00124 m⁴

I viga = (b x h³) / 12 = (0.2 x 0.4³) / 12 =0.00107 m⁴

E I pilar = 30.5 x 10⁶ x 0.00124 = 37743.8

E I viga = 30.5 x 10⁶ x 0.00107 = 32533.33

a2 =  (((E Ix pilar) / 3) + ((E Ix pilar) / 3)) / ((E Ix viga) / 3.3) =2.55

a2 ( cobertura  ) =  ((E Ix pilar) / 3) / ((E Ix viga) / 3.3) =1.28

-          Direcção y

I pilar = (b x h3) / 12 = (0.55³x 0.3) / 12 =0.00416 m⁴

I viga = (b x h3) / 12 = (0.2 x 0.5³) / 12 =0.00208 m⁴

EI pilar = 30.5 x 10⁶ x 0.00416 = 126880.00

EI viga = 30.5 x 10⁶ x 0.00208 = 63440.00

a2 =  (((E Iy pilar) / 3) + ((E Iy pilar) / 3)) / ((E I viga) / 3.3) + ((E I viga) / 6.3)  =1.87

a2 (cobertura ) =  ((E Iy pilar) / 3) / (((E Iy viga) / 3.3) + ((E Iy viga) / 6.3)) = 0.933

Nota : O  a₁ ao nível da fundação é igual a 1.

c) Cálculo da esbelteza do pilar e da encurvadura

Pelas disposições do Art. 59º a esbelteza do pilar tal como o comprimento de encurvadura é calculada da seguinte forma:

Direcção x:

q  Exemplo de cálculo Piso 1 ( P26 )

• Cálculo de   (h; l₀; i;l )

a₁ = 1

a₂ = 2.55

Considerou-se o menor dos seguintes valores :

h = 0.7 + 0.05 x  (a₁+a₂) =  0.7 + 0.05 x (1+2.55) = 0.88

h = 0.85 + 0.05*a_min = 0.85 + 0.05 x 1 = 0.9

logo :   h = 0.88

l = 3 m

l_0x = h * l   = 0.88*3 = 2.64 m

I_x = 0.3 x 0.55³ = 0.00416 m⁴ A= 0.3*0.55 = 0.165 m²

12

i= Ö(I/A) =  Ö(0.00416)/0.0875) = 0.159 m

lx = l_0x / i   = 2.64/0.159 = 16.63

Art. 64 º / REBAP

l_MÁX.= 140                       como     16.63 < 140            Verifica (Art. 64º / REBAP)

Direcção y:

q  Exemplo de cálculo Piso 1 ( P26 )

• Cálculo de   (h; l₀; i;l )

a₁ = 1

a₂ = 1.87

Considerou-se o menor dos seguintes valores :

h = 0.7 + 0.05 x  (a₁+a₂) =  0.7 + 0.05 x (1+1.87) = 0.84

h = 0.85 + 0.05*a_min = 0.85 + 0.05 x 1 = 0.9

logo :   h = 0.84

l = 3 m

l_0y = h * l   = 0.84*3 = 2.52 m

I_y = 0.5 x 0.3³ = 0.001124 m⁴ A= 0.3*0.55 = 0.165 m²

12

i= Ö(I/A) =  Ö(0.001124)/0.165) = 0.087 m

ly = l_0y / i   = 2.52 / 0.087 = 29.07

Art. 64 º / REBAP

l_MÁX.= 140                       como     29.07 < 140        Verifica (Art. 64º / REBAP)

d) Consideração da Encurvadura

q  Exemplo de cálculo Piso 1 ( P26 )

Os esforços de cálculo foram obtidos através do programa de cálculo automático SAP2000 ( resultados apresentados em Anexo ). Apenas se teve em conta os esforços devidos á combinação dos Estados Limites Últimos , pois eram os esforços mais desfavoráveis. Para o exemplo de cálculo:

Esforços no P26 ( Piso 1)

Direcção X

Barra	Combinação
	ELU	N	V2	M3
	0	-571,66	-1,78	-1,75
	1,5	-543,14	-1,78	0,92
	3	-514,62	-1,78	3,58
	SISMMAIS
	0	-362,20	-0,42	-0,41
	1,5	-343,18	-0,42	0,22
	3	-324,17	-0,42	0,84
1	SISMMENO
	0	-372,99	-1,68	-1,65
	1,5	-353,98	-1,68	0,87
	3	-334,97	-1,68	3,39
	ENVOLVE MAX
	0	-362,20	-0,42	-0,41
	1,5	-343,18	-0,42	0,92
	3	-324,17	-0,42	3,58
	ENVOLVE MIN
	0	-571,66	-1,78	-1,75
	1,5	-543,14	-1,78	0,22
	3	-514,62	-1,78	0,84

Direcção Y

Barra	Combinação
	ELU	N	V2	M3
	0	-1746,33	-48,94	-47,49
	1,5	-1737,05	-48,94	25,93
	3	-1727,77	-48,94	99,34
	SISMOMAI
	0	-1024,33	-28,04	-27,29
	1,5	-1018,14	-28,04	14,77
	3	-1011,95	-28,04	56,83
8	SISMOMEN
	0	-992,09	-27,85	-26,94
	1,5	-985,91	-27,85	14,84
	3	-979,72	-27,85	56,62
	ENVOLVE MAX
	0	-992,09	-27,85	-26,94
	1,5	-985,91	-27,85	25,93
	3	-979,72	-27,85	99,34
	ENVOLVE MIN
	0	-1746,33	-48,94	-47,49
	1,5	-1737,05	-48,94	14,77
	3	-1727,77	-48,94	56,62

Quadro 4 – Quadro de esforços no pilar P26 (Piso 1)

Em suma, ( esforços mais desfavoráveis para o piso 1 ):

Piso	Secção	Nsdx	Nsdy	Nsd tot	Msdx	Msdy
1	0	-571,66	-1746,33	-2317,99	-47,49	-1,75
	3	-514,62	-1727,77	-2242,39	99,34	3,58

Quadro 5 – Quadro dos esforços mais desfavoráveis no Pilar P26 (piso 1)

• Se uma das seguintes condições for verificada, pode-se dispensar a encurvadura.

Art. 61.4 º /REBAP

-          1ª condição :

Para  l £ 70     =>    M_sd / N_sd ³  3.5* h

Para  l > 70 =>  ( Msd / Nsd) ³ 3.5 x h x ( l / 70 )

-          2ª condição

l £ 50 – 15 x (Msd,b / Msda)

Análise

Piso	Lamx	Lamy
1	16.63	29.07	lamx e lamy < 70

Direcção X

1 ª condição:      M_sdx / N_sd ³  3.5* h

M_sd / N_sd = 47.49 / 2317.99 = 0.02         0.02 < 1.925

3.5 x h = 3.5 x 0.55 =  1.925                              Não verifica

2ª condição -       l £ 50 – 15 x (Msd,b / Msda)

l = 29.07                                                                                            29.7 < 81.4

Verifica

50 – 15 x (Msd,b / Msda)  = 50 – 15 x (99.34 / 47.49) = 81.4

Dado que se tornou verdadeira uma das condições  do Art 61.4, consideramo-nos dispensados de ter em conta a curvatura na direcção X.

Direcção Y

1 ª condição:      M_sd / N_sd ³  3.5* h

M_sd / N_sd = 1.75 / 2317.99 = 0.001         0.001 < 1.05

3.5 x b = 3.5 x 0.3 =  1.05                              Não verifica

2ª condição -       l £ 50 – 15 x (Msd,b / Msda)

l = 29.07                                                                                            29.7 < 81.38

Verifica

50 – 15 x (Msd,b / Msda)  = 50 – 15 x (3.58 / -1.75) = 81.38

Dado que se tornou verdadeira uma das condições  do Art 61.4, consideramo-nos dispensados de ter em conta a curvatura na direcção Y

Nota: Devido às condições referidas anteriormente consideramo-nos dispensados de ter em conta a encurvadura tanto na direcção x como na y, pelo que iremos contabilizar apenas a excentricidade acidental.

e)- Excentricidades

Apenas se irá contabilizar a excentricidade acidental por razões referidas anteriormente e esta irá ser contabilizada através da seguinte expressão:

ea = lo/300

ea => pode no mínimo ser tomado igual a 0.02

Direcção x.

Sabendo que lox = 2.64

eax= 2.64/300 = 0.009 => ea(adopt.) = 0.02

Direcção Y:

Sabendo qe loy = 2.52 m

eay = 2.52 / 300= 0.0084 =>ea(adop.) = 0.02

f) Esforços finais

Os esforços finais resultam do seguinte modo:

Nsd =Nsd

Msd calc. = Msd + Nsd x ea

De onde se conclui que:

q  Esforços finais no P26 ( Piso 1)

Piso	Secção	Nsd (final)-KN	Msdx (final)-KN.m	Msdy (final)-KN.m
1	0	2317.99	=47.49 + 2317.99 x 0.02=93.85	=1,35 + 2317.99 x0.02 =48.11
	3	2242.39	=99.34+ 2242.39 x 0.02=144.19	=3.58 + 2242.39×0.02 =48.43

Quadro 6 – Quadro de esforços finais no Pilar P26 (Piso 1)

g) Cálculo da armadura

Para o cálculo da armadura recorrendo ao ábaco 59  tabela do  LNEC, considerando a1/h =a2/b=0.1.

Sabendo que b = 0.3 h =0.55 => Ac =0.165 m² C25/30 fcd =16700 Kpa

q  Exemplo de cálculo – Piso1 secção 0:

Mx = 93.85 KN.m

My = 48.11 KN.m

N =2317.99 KN

Ábaco 59 (a1/h = a2/b = 0.1)

mx = ( MRd,x / Ac.h .fcd ) = (93.85 / 0.165 x 0.55 x 16700) = 0.06

my = (MRd,y / Ac .b . fcd ) = (48.11 /0.165 x 0.30 x 16700) = 0.058

n = (NRd/ Ac . h . fcd) = (2317.99 / 0.165 x 16700) = 0.9

h = my /mx = 0.058 /0.06 = 0.9

Para:

mx = 0.06

n = 0.058                       W = 0.25

h = 0.5                                                         mx = 0.06

n = 0.058            W = 0.28

h = 0.

mx = 0.06

n = 0.058                       W = 0.3

h = 1.0

As = W x Ac x (fcd / fsyd) = 0.28 x 0.165 x (16,7 /348) = 22.49 cm²

Em cada 7.5 metros uniformizou-se a armadura, ou seja, em cada dois pisos e meio.

O cálculo mais pormenorizado é apresentado em Anexo. ( Anexo 23 )

h) Calculo de diâmetros para a armadura uniformizada

1 – As = 29.2cm²

0.25 x As = 7.3 cm² => 4 f16 x 4 =>16 f 6

2 – As = 9.9 cm²

0.25 x As = 2.5 cm² => 4f10 x 4 => 16 f 10

3 – As = 14.25 cm²

0.25 x As = 3.6 cm² => 4 f12 x 4 => 16 f12

i)-Espaçamento da armadura longitudinal

> f existente

como não há agrupamentos => s ³

2 cm

b` = b – 2 x rec. – 2 x f estribos

s = ( b` – n x f ) / (n –1 )

1 =>

b` = 0.3 – 2 x 0.025 – 2x 0.008 = 0.234 m

s = (0.234 –5 x 0.016)/4 = 0.0385 = 3.9 cm

>  f16              0.016

s ³                     =>                  => s ³ 2cm

2 cm                  2 cm

2 =>

b` = 0.3 – 2 x 0.025 – 2x 0.008 = 0.234 m

s = (0.234 –5 x 0.010)/4 = 4.6 cm

>  f10              0.010

s ³                     =>                  => s ³ 2 cm

2 cm                  2 cm

3 =>

b` = 0.3 – 2 x 0.025 – 2x 0.008 = 0.234 m

s = (0.234 –5 x 0.012)/4 = 4.35 cm

>  f12              0.012

s ³                     =>                  => s ³ 2cm

2 cm                  2 cm

j) -Estribos :

0.9 x d = 0.9 x 0.525 = 0.4725 m

Afastamento =>       s £

30cm

s £ 30 cm

Vsd máx. =103.7 KN

VRdmáx.= t2 x b x d = 5 x10³ x 0.3 x 0.525 = 787.5 KN > Vsd = 103.7 KN, conclui-se que fica garantida a segurança das escoras da treliça de Morsch.

Vcd = t1 x b x d = 0.75 x103 x 0.3 x 0.525 = 118.125 KN

Vwd  ³ Vsd – Vcd = 103.7 –118.125 = – 14.425 KN

(Asw/s) = Vwd/(0.9 x d x fsyd) = (14.425 x 104 )/(0.09 x 0.525 x 348 x 103) = 0.88 cm2/m

(Asw/s)min = (0.1 x 0.3)/ 100 = 3cm2/m

(Asw/s)adopt. = 3cm2/m

(1/6) x  bw x t1 x bw x d = (1/6) x 0.75 x 103 x 0.3 x 0.525 = 19.6875

(2/3) x bw x 0.3 x 0.525

Artº94.3 –  £ 0.5 x d, com o máximo de 25 cm

0.5 x0.525 = 0.2625 m

s £                                            =>   s £ 2.5 cm

25cm

(Asw/s) ³ 3 => considerando s = 0.15 => Asw = 3 x 0.15 = 0.45, utilizando 2f8 //0.15 com 2 ramos

k)-Cintas

s £ 12f => s £ 12 x 0.016 = 0.192 m

s  £       s £ menor dimensão do pilar = 0.3 m               => s  £  0.192 m

s £ 30cm

As = 2 f 6 artº 122.2 /REBAP   ,   s = 0.15 m

(Sem escala)

Figura 24 – Secções do pilar P26 adoptadas

Situação + desfavorável => Secção 2

Direcção y

b`= 0.55 – 2 x 0.025 – 2 x 0.008 = 0.484 m

s = ( 0.484 – 5x 0.010 ) / 4 =0.108m

0.484/2 – 0.108/2 – 0.010/2 = 0.183 , s = 0.183 > 0.15  , logo precisa de cintas, então iremos cintar 3 ferros apenas por disposição construtiva. Como critério de projecto optou-se por Cintar 3 varões em todas as secções.

9 – Dimensionamento da sapata S14 ( do pilar P26)

9.1 )-Esforços:

*Pórtico X                                                                                            *Portico Y

Nsd = – 571,66  KN                                                                               Nsd = -1746,33  KN

Vsd = – 1, 78     KN                                                                               Vsd = – 48,94     KN

Msd = – 47,49   KN.m                                                                            Msd = – 1,75      KN.m

Ntotal = Nx + Ny = -571,66 – 1746,33 =  – 2318   KN

s adm solo = 0,4 Mpa = 400 Kpa

j = 35 °

9.2) – Geometria :

( Pré – dimensionamento)

s base da sapata = N / A ≤ s adm

Área(sap) ≥ N / s adm  = 2318 / 400 = 5,795 m 2

Considerando a sapata quadrada tem- se  que :

Área(sap) = A × B = 5,795 m² => A = B = sqrt ( 5,795) = 2,41 m

Adoptando ;  A = B = 2,5 m

(Sem escala)

Figura 25 – Geometria da sapata  S14, em planta

9.3)- Determinação da altura H da sapata rígida:

Para ser uma sapata rígida temos que ;

H ≥ L / 2  , em que:

- H é a altura da sapata

- L = (A – a) / 2

Assim temos que;

H ≥ ( A – a ) / 4  <=> H ≥ ( 2,5 – 0,3 ) / 4 <=> H ≥  0,55 m

=> Adoptou-se H= 0,7

(Sem escala)

Figura 26 – Geometria da sapata  S14, em corte

9.4)-Direcção X :

a)- Cálculo do esforços:

P.P. sapata = a × b × H × gama do betão = 2,5 × 2,5 × 0,7 × 25 = 109, 38 KN

N` = Nsd + P.P. sapata = 2318 + 109,38 = 2427, 38 KN

V` = – 1,78 KN

M` = Msd + V` × H = – 47,49 + 1,78 × 0,7 = – 46, 24 KN.m

b)- Comprimento da consola: (Método da consola)

L = A / 2 – 0,35 × a = 2,5 / 2 – 0,35 × 0,3 = 1,145 m

c)  Tensão exercida sobre o solo:

sadm = Nsd / Área(sap)  = 2427,38 / 6,25 = 388, 38  KN / m²

( Sem Escala )

Figura 27 – Modelo para a determinação de esforços na Sapata S14, direcção X

d)- Cálculo da armadura principal :

Considerou – se :

rec = 0,05 m   => d = H – 0,05 = 0,7 -0,05 = 0,65 m

d.1) – Esforços actuantes:

Msd = (  P ×  L² ) / 2 = (388,38 × 1,145 2) / 2 = 254,59 KN  m / m

Vsd =       P  × L  = 388,38 × 1,145 = 444, 7 KN / m

d.2) – Método para o calculo da armadura:

V = 0,85 × fcd × b × d = 0,85 × 16,7 × 10 ³ × 1 × 0,65 = 9226,75 KN / m

Vd = V × d = 9226,75 × 0,65 = 5997,39

m = Msd / Vd = 1,5 ´ 254,54 / 5997,39   =    0,06368< 0,31

( U / d ) = 1-     1 – 2 ´ 0,06368    = 0,06584

As = ( 0,06584 ´ 9226,75 ) / 34,8 = 17,45 cm 2 /m

d.3) -Armadura mínima ( Art. 90  REBAP )

As min = ( r × b × d ) / 100 = ( 0,15 ×1 × 0,65 ) / 100 = 9,8 ×10 ^{- 4} m² / m = 9,8 cm² /m

Norma espanhola => As min = ( 0,18 × 1 × 0,65 × 10 ⁴ ) /100 = 11,7 cm² /m

As adaptado = 17,45 cm² /m    < = > Ø 16 // 0,10 ( 20,1 cm² /m )

e)-Verificação do esforço transverso ( Norma espanhola )

( Sem Escala )

Figura 28 – Modelo para verificação de eforço transverso para a Sapata S14, direcção X

b resistente = 2 × ( d /2 ) + a = 2 × (0,65 /2) + 0,55 = 1,2 m

Vrd = 2 × b resi × d × f vd = 2 × 1,2 × 0,65 × f vd

fvd =    0,5 × Ö(fvd)  = 0,5×Ö(167)  = 6,46 Kg /cm²

ð  646 KN /cm²

V rd = 2 × 1,2 × 0,65 × 646 = 1007,76 KN

( ELU )

Vsd = 1,5 × 444,7 = 667,05 KN

Vrd = 781,66 KN

Vrd > Vsd  =>  Verifica, logo está dispensada a armadura de esforço transverso.

9.5)- Direcção Y:

a) Cálculo de esforços:

P.P. Sapata = 109,38 KN

N’ = 2318 + 109,38 = 2427,38 KN

M’ = – 1,75 + 48,94 × 0,7 = 32,51 KN

V’ = – 48,94 KN

b) Comprimento da consola:

L = 2.5/2 – 0.35 x 0.55 = 1.058 m

c) Tensão exercida sobre o solo:

sadm = Nsd / Área(sap)  = 2427,38 / 6,25 = 388, 38  KN / m²

( Sem Escala )

Figura 29 – Modelo para a determinação de esforços na Sapata S14, direcção Y

d)- Cálculo da armadura principal :

d.1) – Esforços actuantes:

rec = 0,05                d = 0,7- 0,05 = 0,65

Msd = (388,38 × 1,058²) / 2 = 217,37 KN /m²

Vsd = 388,38 × 1,058 = 410,91 KN /m²

d.2) – Método para o calculo da armadura:

V = 0,85fcd × b × d = 0,85 × 16,7 × 10³ × 1 × 0,65 = 9226,75 KN /m²

Vd = V × d = 7807,25 × 0,65 = 5997,39

m = Msd /Vd = ( 1,5 × 217,37 ) / 5997,39 = 0,0544  < 0,31   => Verifica

( Y /d ) = 1 -      1 – 2 × 0,0544 = 0,056

As = ( 0,056 × 9226,75 ) / 34,8 = 14,83  > As min

As adopt = 15,00 cm² /m      = >  Ø16 // 0,10  ( 20,1 cm² / m )

d.3) -Armadura mínima ( Art. 90  REBAP )

As min = ( r × b × d ) / 100 = ( 0,15 ×1 × 0,65 ) / 100 = 9,8 ×10 ^{- 4} m² / m = 9,8 cm² /m

Norma espanhola => As min = ( 0,18 × 1 × 0,65 × 10 ⁴ ) /100 = 11,7 cm² /m

As adaptado = 15.00 cm² /m    < = > Ø 16 // 0,10 ( 20,1 cm² /m )

e)-Verificação do esforço transverso ( Norma espanhola ):

(  Sem Escala )

Figura 30 – Modelo para verificação de esforços transverso para a Sapata S14, direcção Y

b resist = 2 × ( d / 2 ) + b = 2 × ( 0,65/ 2 ) + 0,3 = 0,95 m

VRd = 2 × b resist × d × f Vd = 2 × 0,95 × 0,65 × 646 = 797,81 KN

fVd = 0,5 ×Öfcd  =  0,5 xÖ167     = 6,46 Kg /cm²  = > 646 KN /cm²

Vsd = 1,5 × 410,91 = 616,37 KN

Vrd  >  Vsd   = > Verifica, logo está dispensada a armadura de esforço transverso

9.6)-Verificação do Punsoamento (artº54/REBAP):

d = 0,65 m

(B 30)   t1 = 0,75 × 10³

h = 1,6 – d = 1,6 – 0,65 = 0,95

n Rd = η ×  t1  × d

n Rd = 0,95 × 0,75 × 10³ × 0,65 = 463,13 KN

V Rd 1 = n Rd × u

u = 2 ×0,3 + 2 × 0,55 + 2 π × 0,325

u = 3,74m

Vrd 1 = 463,13 × 3,74 = 1733,05 > Vsd = 408.26 + 441.833 = 850.1 KN,  Verifica

Vrd máx = 1,6 × V Rd 1 = 2772,9 KN

9.7)-Viga de fundação

a) Pré-dimensionamento (S2 Sapata do pilar P27)

N t = Nx

σ base da sapata = N t / A sapata   ≤  σ adm

A sapata  ≥  962,28 / 400 = 2,406

Considerando sapata quadrada:

As = A × B   => A = B =Ö(2,406)   = > A = B = 1,55m

Adoptado   A = B = 2,5m

b) Pré-dimensionamento da viga de fundação

As dimensões da viga considerou-se igual á viga dimensionada para o pórtico x, em a altura da secção é 0.4m e a base de 0.2m. A viga tem um comprimento de L = 3.3m .

( Sem escala )

Figura 31 – Viga de fundação e sapatas adjacentes

c) Dimensionamento da viga de fundação:

c.1)-Calculo da armadura:

( Sem escala )

Figura 32 – Modelo de cálculo da viga de fundação

rec = 0,05                                                   d = 0,4 – 0,05 = 0,35

M sd = 1,75 ( KN    )

As min = ( r × b × d ) / 100 =   (0,15 × 0,2 × 0,35 ) / 100   × ( 10 ⁴ ) = 1,05 cm²

As máx = 0,04 × 0,2 × 0,4 = 3,2 cm²

Tabela nº2:

m =   1,75 / ( 0,2 × 0,35² )  × ( 10 – 4 ) = 0,0714                                B30

• Interpolação

m               a              r

0,050          0,027        0,015                                                                      a= 0,03171

0,0714           a               r                                        m = 0,0714  =>

0,100          0,038        0,029                                                                       r = 0,021

x = a × d = 0,03171 × 0,35 = 0,0111

As =   ( 0,021 × 0,2 × 0,35 ) / 100    × ( 10 ⁴ ) = 0,147 cm²       = >

= > As adopt = 1,05 cm²      => 2Ø 10 ( 1,57 cm² )

c.2)- Espaçamento mínimo:

Ø = 1 cm

s ≥                                                   s ≥ 2 cm

2 cm

c.3)- Espaçamento máximo ( art. 91 ):

Ambiente moderadamente agressivo:

s máx = 7,5 cm

b’ = b – 2 × rec – 2 × Ø

b’ = 0,2 – 2 × 0,05 – 2 × 0,008 = 0,084

s = ( b’ – n × Ø ) / ( n – 1 ) = (0,084 – 2 × 0,010) / (2 – 1) = 0,064 m = 6,4 cm

= > s = 6,4 cm

c.4)- Verificação ao esforço transverso:

( Sem escala )

Figura 33 – Modelo para verificação de esforços transverso  da Viga de fundação.

VA = Msd / l = 1,75 / 2,7 = 0,65 KN

VB = – Msd / l = – 0,65 KN

Vsd máx = 0,65 KN

Vrd máx = t2 × bw× d = 5 × 10³ × 0,2 × 0,35 = 350   >  Vsd

Então, fica garantido a segurança das escoras da traliça de Morsch.

Vcd = t1 × bw × d = 0,75 × 10³ × 0,2 × 0,35 = 52,5 KN

Como Vcd > Vsd, fica garantido a segurança ao esforço transverso apenas com a armadura mínima.

( Asw / s )  ≥ ( rw × sen a × b_w ) / 100 = ( 0,1 × sen a × 0,2 ) / 100 = 0,0002 ( cm² / m )

( Asw / s ) adopt = 2 cm² / m

c.5)- Afastamento dos estribos

Vsd = 0,65 KN

1 / 6 ×  2 × d = 1 / 6 × 5 × 10³ × 0,2 × 0,35 = 58,33

Vsd  <  58,33       = >  s  ≤ 0,9 × d , com máximo de 30 cm

s máx = 30 cm

s adopt = 20 cm

10- Dimensionamento do muro de conteção:

O muro dimensonado é o muro no qual descarregam os pilares P1 , P13 , P23 , P29. Para o cálculo dos esforços do muro recorreu-se ao programa de cálculo automático SAP2000. Os resultados do SAP2000 são apresentados em anexo. ( Anexo 17 ; 24 )

DADOS

• Tensão admissível : sadm = 0.4 Mpa
• Massa volúmica : γ = 21 KN/m³
• Ângulo de atrito interno : f = 35º
• Tipo de terreno : 1
• SC : 10 KN/m

SC = 10 KN/m²

=> Impulso e Repouso :

K0 = 1 – sen f  = 1 – sen 35º = 0.426

=> Impulso de Sobrecarga

Isc = K0 x SC = 0.426 x 10 = 4.26 KN/m²

=> Impulso do Solo

Is = γ x h x K0 = 21 x 6.405 x 0.426 = 57.30 KN/m²

a) Pré-dimensionamento da sapata do muro

- Pilares que descarregam no muro :  P1 , P13 , P23 , P29

P1 = CPtotal + SCtotal = 346.66 + 41.6 = 388.26 KN

P13 = 735.75 + 78.3 = 814.05 KN

P23 = 1194.87 + 221.48 = 1416.35 KN

P29 = 514.24 + 72.78 = 587.72 KN

PPmuro =  gbetão x h muro x 1 = 25 x (2 x 3 + 0.2) x 0.35 =54.25 KN

L = 16.59 m

Nsd = PPmuro + ((P1+ P13 + P23 + P29) / L) = 54.25 +((388.26 + 814.05 + 1416.35 +

587.72) / 16.59) = 247.52 KN/m

s(base da sapata) = Nsd / (a x 1) ≤ s adm      sendo a - a  largura da sapata do muro

=> a = 247.52 / 400 = 0.619 m (com L = 0.9 m)

Para ser uma sapata rígida

h ≥ (l / 2)         para uma direcção, sendo h a altura da sapata

h ≥ (0.55 / 2) = 0.275 m  =>  h adopt = 0.7 m para ficar em conformidade com a sapata

do pilar

b)- Modelo de Cálculo

L = 15% x 0.7 + 3 + 0.2 + 3 + (0.2 / 2) = 6.405 m

l1 = 15% x 0.7 + 3 + (0.2 / 2) = 3.205 m

l2 = 6.405 – 3.205 = 3.2 m

( Sem escala )

Figura 34 – Modelo de cálculo do muro de contenção

1

c)- Cálculo da armadura do muro

0.35

( Sem Escala )

Figura 35 – Esforços de cálculo do muro de contenção

rec.= 0.05m

d = 0.35 – 0.05 = 0.30m

• M2 = 33.22 KN.m

m = M / (b x d²) = 33.22 / (1 x 0.3² x 1000) = 0.371 Mpa

x = 0.0722 x 0.3 = 0.02166 m

As = ((0.0485 x 1 x 0.3) / 100) x 10⁴ = 2.96 cm²/m

M	a	r
0.3	0.068	0.088
0.37	0.0722	0.0985
0.4	0.074	0.103

• M3 = -45.83 KN/m

m = M / (b x d²) = 45.83 / (1 x 0.3² x 1000) = 0.51Mpa

x = 0.09 x 0.3 = 0.027 m

As = ((0.1476 x 1 x 0.3) / 100) x 10⁴ = 4.43 cm²/m

M	a	r
0.5	0.089	0.148
0.51	0.09	0.1476
0.55	0.094	0.163

• M4 = 12.79 KN/m

m = M / (b x d²) = 12.77 / (1 x 0.3² x 1000) = 0.142 Mpa

x = 0.0456 x 0.3 = 0.0137 m

As = ((0.0416 x 1 x 0.3) / 100) x 10⁴ = 1.25 cm²/m

M	a	r
0.1	0.038	0.029
0.142	0.0456	0.0416
0.15	0.047	0.044

As min = ((0.15 x 1 x 0.3) / 100) x 10^-4 =4.5 cm²

M2 => As = 4.5 cm²/m

M3 => As = 4.5 cm²/m

M4 => As = 4.5 cm²/m

d)- Verificação ao esforço transverso

( Sem escala )

Figura 35 – Modelo para verificação de esforços transverso do muro de contenção

Vsd máx. = 165.06 KN/m

Vrd = 0.6 x (1.6 – d) x t1 x bw x d = 0.6 x (1.6 – 0.3) x 0.75 x 10³ x 1 x 0.3

=175.5KN/m

Vrd < Vsd máx. , Verifica

e)- Cálculo da Sapata do Muro com viga de fundação

( Sem escala )

Figura 36 – Modelo para a determinação de esforços na sapata do muro

M1 = 69.71 KN/m

N’ = Nsd + Ppsapata = 247.52 + 25 x 0.9 x 0.7 x 1 = 263.27 KN/m

s = 263.27 / (0.9 x 1) =292.58 KN/m²

0.9 – (0.25 / 2) – 0.35 x 0.25 = 0.688 m

M = (292.52 x 0.688²) / 2 = 69.23 KNm/m

R = 292.52 x0.688 = 201.25 KN

V = 0.85 x 16700 x 1 x 0.65 = 9226.75 KN/m

Vd = 9226.75 x 0.65 = 5997.39 KN.m/m

m = (1.5x 69.71) / 5997.39 = 0.01744 < 0.31

(y / d) = 1 – √(1 – 2 x 0.02394) = 0.01759

As = (0.01759 x 9226.75) / 34.8 = 4.66 cm²/m

As mín = (r x b x d) / 100 = ((0.15 x 1 x 0.65) / 100) x 10^-4 = 9.8 cm²/m

M1 => As = 9.8 cm²/m  => Ø 16 // 0.15

f) Verificação do Esforço Transverso da Sapata do Muro

rec = 0.05 m

0.55

0.35

d = 0.65 m

b resistente = 2 x (d / 2) + a = 2 x (0.65 / 2) + 0.35 = 1 m

Vrd = 2 x 1 x 0.65 x 646 = 839.8 KN/m

fvd = 0.5 x √(f cd) = 0.5 x √167 =6.46 Kg /cm² => 646 KN/ cm²

Vsd = 201.25 KN/m < Vrd = 646 KN/m  logo está dispensada a armadura de esforço transverso

Cálculo Estrutural de Edifícios Passo a Passo Vigas, Pilares … em Pdf

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Dimensionamento de estruturas Metálicas

Dimensionamento de Vigas

1 – Introdução

O dimensionamento de vigas metálicas cujo banzo comprimido não possui um contraventamento lateral contínuo, requer a verificação da segurança à instabilidade lateral.

Este modo de colapso é designado na regulamentação portuguesa por bambeamento e no EC3 por “lateral torsional buckling of beams”. Trata-se de um fenómeno de instabilidade lateral da viga por flexão-torção, que adquire relevância especial em vigas de secção aberta com pequena rigidez de torção.

O dimensionamento de vigas metálicas constituídas por perfis de aço laminados a quente (secções das classes 1 e 2 no EC3) requer a verificação:

-          da resistência das secções transversais da viga

-          da estabilidade lateral da viga

-          da deformabilidade da viga

 

A verificação das condições de resistência pode ser feita em termos de tensões normais e tangenciais nas secções, com base no critério de cedência plástica de Mises-Hencky e constitui a base de dimensionamento elástico. No caso das secções da Classe 1 e 2 na designação do EC3, admite-se o dimensionamento plástico da secção.

A verificação das condições de deformabilidade da viga requer, em geral, o cálculo das flechas elásticas, e a comparação dessas flechas, obtidas para determinadas combinações de cargas associadas a estados limites de utilização, com os valores admissíveis recomendados no Capítulo 4 do EC3.

Finalmente, quanto à verificação da estabilidade lateral da viga (bambeamento), refere-se em primeiro lugar que se trata de um problema clássico da teoria da Estabilidade de Estruturas à semelhança do que acontece com o problema da encurvadura de colunas. Na figura seguinte estabelece-se a analogia entre os problemas de estabilidade de colunas e vigas.

No problema da estabilidade lateral de vigas, o fenômeno de torção introduz o efeito de torção não uniforme, o que leva à necessidade de introduzir o conceito de rigidez de empenamento da secção EI_w, conforme se pode observar na fórmula do momento crítico da viga (M_cr) indicada na figura 1. Por essa razão começa‑se por apresentar, na secção seguinte, uma introdução ao problema da torção não uniforme em peças de secção aberta.

 

Analogia entre os problemas de estabilidade de colunas e vigas

2- Torção Não‑Uniforme de Secções Abertas

 

0 problema da torção não‑uniforme, por vezes também designado por torção com empenamento (“warping torsion”), não é em geral tão bem conhecido como o da torção uniforme (torção de Saint‑Venant) estudado na Resistência de Materiais. Por ser de importância fundamental para os assuntos seguintes, far‑se‑á aqui uma breve revisão sobre torção não‑uniforme. Esta ocorre em peças solicitadas por um momento torsor variável ou em peças em que o empenamento das secções transversais não é livre.

Para introduzir o assunto, considerar‑se‑á o problema clássico da barra com secção I encastrada numa extremidade e solicitada por um momento torsor T na extremidade livre .

 

Torção não uniforme de secções em I.

A secção empena, devido à falta de simetria radial. Como o empenamento não é livre, devido aos encastramentos, os banzos flectem. Geram-se assim tensões normais de flexão, estaticamente equivalentes a um momento flector M_b no plano de cada um dos banzos. Estes momentos M_b variam ao longo da peça, sendo nulos na secção livre. A variação de M_b é equivalente a um esforço transverso.

 

gerando-se um momento torsor adicional na secção

 

 

designado por momento torsor de empenamento. Deste modo o momento torsor total numa secção é igual a

 

em que T_u representa a parcela do momento interno associada ao regime de torção uniforme.

Põe-se agora o problema de relacionar o momento torsor com o ângulo de torção f. Quanto a T_u, é conhecido da teoria elementar da torção uniforme que:

 

em que:

G – módulo de distorção do material

I_t – constante de torção

E é dada por :

 

em que t_i e b_i representam respectivamente a largura e o comprimento dum dos rectângulos que constituem a secção.

 

 

 

Quanto ao momento T_w, começa-se por notar que pela teoria elementar da flexão o momento M_b no banzo é dado por:

 

em que:

I_b – momento de inércia dum banzo relativamente ao eixo dos zz

u_y – deslocamento lateral (segundo Y) do eixo do banzo

Como , a equação pode-se escrever na forma

 

Das equações anteriores obtém-se para o momento torsor de empenamento

 

Introduzindo a constante da secção  vem

 

Esta equação para o momento torsor de empenamento, deduzido aqui por simplicidade para uma secção I, mostra‑se ser válida no caso geral. A constante de empenamento (I_w) encontra‑se tabelada para várias secções (figura 3).

 

 

 

Constantes de empenamento e posição do centro de corte de secções correntes.

 

A expressão geral que relaciona o momento torsor T numa secção genérica com a rotação de torção f da secção, obtém‑se introduzindo as equações 4 e 9 na equação 3:

 

T =

 

A resolução dum problema de torção em regime não uniforme requer a integração da equação . Quando se trata dum momento torsor distribuido ao longo da peça, t=, a equação  transforma‑se em:

 

= t

 

Para integrar a equação 11 são necessárias duas condições por cada extremidade da barra.

Note‑se que se o empenamento numa extremidade é livre, o momento flector no banzo é nulo (M_b=0), pelo que da equação 7 se pode concluir que =0. Deste modo tem-se:

 

a) Extremidade encastrada (torção e empenamento impedidos)

 

f= 0   ;  =0

 

b) Extremidade em que se impede a torção, mas não o empenamento

 

f= 0   ;  =0

 

Na figura mostram-se dois tipos de ligações com consequências diferentes na torção e empenamento de vigas I. A ligação (d) impede praticamente a torção no apoio, mas introduz tensões normais de empenamento com a distribuição indicada na figura . Tal não acontece na ligação (c), a qual, no entanto, apresenta pouca rigidez à torção. A figura 4.ii representa o caso da secção Z.

Não será considerado aqui o problema do cálculo das tensões normais de empenamento (figura ), por não ser fundamental para os assuntos que se seguem. Nota‑se que as referidas tensões atingem por vezes valores extremamente elevados, pelo que nem sempre deverão ser consideradas como de efeitos secundários na verificação da segurança de secções abertas. 0 cálculo destas tensões faz‑se, em geral, com base nos conceitos de Bimomento e de coordenadas sectoriais.

 

 

3 – Encurvadura Lateral de Vigas por Flexão – Torção

3.1 – Conceitos Básicos

Uma viga solicitada à flexão em torno do eixo de maior inércia, pode instabilizar lateralmente caso o banzo comprimido não esteja devidamente contraventado. É conveniente distinguir os casos de:

a)      Vigas com contraventamento contínuo

b)     Vigas contraventadas em pontos intermédios ao longo do vão

c)      Vigas sem contraventamento

 

Nos casos b) e c) há que dimensionar tendo em conta a possibilidade de instabilidade lateral por flexão–torção.

Para compreender o problema da instabilidade lateral de vigas, considere-se o caso clássico da próxima figura. O banzo comprimido, que não é mais do que uma coluna sobre “fundação elástica”, tende a encurvar lateralmente. Essa tendência é contrariada pela parte restante (estável) da secção.

No domínio pré-crítico o deslocamento w aumenta linearmente com M e os deslocamentos n e f mantêm-se nulos.

Para M = M_cr atinge-se uma bifurcação do equilíbrio. No domínio de pós-encurvadura, as secções transversais apresentam um translação definida por n e w e uma rotação de torção, em torno do centro de corte, definida por f.

No estado de pós-encurvadura, as secções transversais estão solicitadas por momentos flectores M_y e M_z e por um momento torsor T, em equilíbrio com o momento aplicado M.

O momento crítico elástico de vigas da secção bissimétrica à flexão pura, em torno do eixo de maior inércia y, é dado por:

 

em que          L_e – comprimento de encurvadura

Deve-se notar que a equação se pode escrever na forma:

 

em que          P_Ez – carga de Euler para a flexão de z

Se o momento flector não for constante mas variável, a equação pode escrever-se na forma geral:

 

em que          C₁ – constante dependente do carregamento e das condições de apoio

 

No caso de cargas concentradas ou distribuidas, o momento crítico é dependente do modo de aplicação das cargas na secção. Assim, uma carga aplicada no banzo superior tende a agravar a instabilidade relativamente ao caso da carga aplicada no centro de gravidade. Pelo contrário, se a carga for aplicada ao banzo inferior o seu efeito é estabilizante . Na secção seguinte apresentar‑se‑á uma fórmula mais geral do que a equação , a qual tem em conta o modo de aplicação da carga.

 

A equação , ou equivalentemente a equação , é apenas válida para secções bissimétricas. Este ponto tem dado lugar a algumas confusões na literatura. Efectivamente para secções monossimétricas, como por exemplo secções I de banzos desiguais, que no caso extremo conduzem às secções em T, aparece o chamado efeito de Wagner. Este efeito consiste na influência das tensões normais de empenamento na rigidez de torção.

 

Uma peça comprimida apresenta menor rigidez à torção do que a mesma peça quando traccionada. A instabilidade em torção pura duma peça comprimida pode ser explicada unicamente com base no efeito de Wagner.

As imperfeições a considerar no problema da instabilidade lateral de vigas são essencialmente imperfeições geométricas (deslocamentos iniciais v₀, f₀ e excentricidades do plano de aplicação da carga relativamente ao plano da alma) e tensões residuais. As primeiras dão origem ao comportamento indicado a tracejado na figura 5.b. Assim, os deslocamentos laterais v e de torção f aumentam de urna forma contínua desde o início do carregamento, ao contrário do que acontece na viga perfeita (e=0). Quanto às tensões residuais, estas originam que vigas de esbelteza média encurvem lateralmente em regime inelástico.

 

No projecto duma viga sem contraventamentos laterais poderão utilizar‑se várias soluções para aumentar a estabilidade lateral. Uma solução será utilizar uma viga em caixão , a qual apresenta uma grande rigidez de torção l_t. Neste caso a instabilidade lateral não controla, em geral, o dimensionainento, o qual é então condicionado pela cedência plástica e pela instabilidade local das paredes (placas) da secção. Uma outra solução possível é aumentar a rigidez de torção por utilização de banzos em caixão.

Influência do modo de aplicação da carga na instabilidade lateral de vigas.

 

Secções em caixão ou com banzos em caixão

Finalmente refere-se aqui o problema dos contraventamentos laterais. O contraventamento contínuo é em geral originado pela ligação do banzo comprimido da viga a um tabuleiro, cobertura, etc. Nesta situação não se põe o problema da estabilidade lateral. Quando o banzo comprimido da viga á contraventado duma forma descontínua ao longo do vão considera-se, para efeitos de dimensionamento, o problema da encurvadura para os troços da viga entre apoios laterais. A rigidez e resistência destes apoios laterais devem ser adequadas. Efectivamente, a presença de imperfeições geométricas na viga faz com que os contraventamentos sejam solicitados desde o início do carregamento. É usual dimensionar os contraventamentos laterais para cerca de 2% da força (resultante das tensões normais) no banzo comprimido da viga.

 

3.2 – Regime Elástico

Considerar-se-á agora a determinação dos momentos críticos elásticos para a encurvadura por flexão-torção de vigas com quaisquer condições de carregamento e de apoio. Admite-se que as cargas actuam num plano principal de flexão contendo os centros de gravidade e de corte e que as secções se mantêm rígidas e sem encurvadura local. Efeitos de imperfeições geométricas ou materiais (tensões residuais) não serão considerados nesta secção. Trata-se portanto de instabilidades bifurcacionais, não sendo excedida em nenhum ponto da secção a tensão limite de proporcionalidade.

 

a) Secções Bissimétricas

O momento crítico elástico é dado no Anexo F do EC3, tendo-se:

 

em que:

C₁ e C₂ – coeficientes dependentes da distribuição de cargas e das condições de apoio

k e k_w – factores associados aos comprimentos de encurvadura

 

- refere-se às condições de apoio relativas à rotação no plano

e

k_w – refere-se às condições de empenamento nas extremidades da viga, deve-se tomar por segurança k_w = 1,0.

 

Nesta equação, z_g representa a coordenada z do ponto de aplicação das cargas, pelo que z_g = 0 sempre que as cargas se considerem a actuar no centro de gravidade da secção.

Nesses casos, os termos que envolvem C₂z_g anulam-se, obtendo-se uma equação anteriormente referida.

 

Valores numéricos do coeficiente C₁ para diagramas de momentos lineares entre

travamentos transversais.

 

Se existirem cargas distribuídas ao longo do vão é necessário considerar os termos C₂z_g na equação, devendo-se considerar z_g como positivo sempre que o efeito do modo de aplicação da carga na secção for instabilizante. Isto acontece quando as cargas actuam no sentido do seu ponto de aplicação na secção para o centro de corte (coincidente com o centro de gravidade no caso das secções bissimétricas).

 

Apresentam-se na figura os valores da constantes C₁ e C₂ para o caso das cargas ao longo do vão conforme constam do Anexo F do EC3.

 

 

Valores numéricos do coeficiente C₁ e C₂ para o caso de cargas distribuidas ao longo do vão

 

 

b) Secções Monossimétricas

 

No Anexo F do EC3 define‑se uma expressão geral para o caso da determinação do M_cr em vigas de secção monossimétríca.

 

c) Vigas de Secção Variável

 

A equação  é válida apenas para o caso de vigas de secção constante bissimétríca. No caso de vigas de secção variável, contraventadas em pontos intermédios ao longo do vão, a verificação da estabilidade lateral faz‑se em geral para cada um dos troços entre contraventarnentos admitindo‑os de inércia constante.

 

 

3.3 Regime Elasto‑PIástico

 

Na figura  representa‑se o comportamento não linear de vigas devido aos efeitos da encurvadura lateral na presença de imperfeições. Enquanto nas vigas esbeltas a carga última é aproximadamente dada pela teoria da estabilidade elástica (conforme foi apresentado na secção 3.2), nas vigas de esbelteza média, o colapso dá‑se em regime elasto‑plástico. Não considerando o efeito geométricamente não linear (instabilidade lateral na presença de imperfeições) o momento de colapso plástico da viga é dado por:

 

M_pl = W_pl ´ f_y

 

em que W_pl é o módulo plástico da secção, o qual se calcula com base na teoria elementar da flexão plástica.

 

Para vigas de esbelteza média o momento plástico (M_pl) não representa o verdadeiro momento de colapso. Efectivamente, há que considerar o efeito das encurvadura lateral e a presença de imperfeições. Para as secções laminadas a quente, a presença de tensões residuais devidas à larninagem, faz com que as tensões críticas (s_cr= ) excedam frequentemente a tensão limite de proporcionalidade s_p= s_cr – s_rc (s_rc representa a tensão residual máxima de compressão).

 

Torna-se assim necessário definir um parâmetro de esbelteza para a viga, o qual no EC3 é a “esbelteza normalizada”:

 

l_LT =

 

No caso do dimensionamento elástico de secções, substitui‑se M_pl na equação 19 pelo momento de cedência (M_c=Wf_y).

 

Às vigas de pequena esbelteza correspondem valores de M_cr muito elevados em relação a M_pl, pelo que l_LT toma valores baixos. Pelo contrário, às vigas esbeltas correspondem valores de M_cr muito menores do que M_pl, pelo que que l_LT toma valores muito elevados.

 

Na figura  apresentam‑se resultados experimentais para os momentos últimos de vigas, com vários tipos de secção, em função da esbelteza normalizada l. Neste diagrama o momento M_u está normalizado em relação ao momento de cedência (M_c) e a esbelteza l está definida por . Os valores experimentais estão comparados com curvas de dimensíonamento de alguns códigos.

 

Influência de imperfeições geométricas (q) no comportamento elasto‑plástico de

vigas sujeitas à instabilidade lateral.

 

Comparação de resultados experimentais com curvas de dimensionamento de alguns códigos.

Para atender à redução da capacidade resistente da viga por efeito da instabilidade lateral na presença de imperfeições geométricas e de tensões residuais, o EC3 introduz à semelhança da colunas, o coeficiente de redução c_LT o qual é função da esbelteza normalizada l_LT. Deste modo c_LT depende do momento plástico (M_pl) e do momento crítico (M_cr).

A expressão de dimensionamento no EC3 é:

M_sd £ M_rd

em que:

M_rd=

em que c_LT é dado na figura 12 em função de l_LT respectivamente para secções laminadas a quente (curva a) e secções soldadas (curva c). Note‑se que as curvas a e c são precisamente as curvas já introduzidas no dimensionamento de colunas segundo o EC3.

 

Curvas de dimensionamento para a encurvadura lateral de vigas no EC3

 

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Índice

- Memória Descritiva   pág.6

- 1. Introdução pág.7

- 2. Condicionalismos   pág.7

- 3. Descrição da Estrutura pág.7

- 3.1. Super Estrutura pág.7

- 3.2. Fundações pág.7

- 4. Acções pág.8

- 5. Combinação de Acções pág.8

- 6. Método de Cálculo pág.8

 

- Cálculos Justificativos pág.9

- 1. Cargas Consideradas pág.10

- 2. Combinações fundamentais pág.10

- 3. Pré-dimensionamento pág.10

- 3.1. – Espessura mínima da Laje pág.10

- 3.2. – Viga de bordadura pág.10

- 3.3. – Pilares pág.11

- 4. Dimensionamento da Laje pág.13

- 4.1. Armaduras Mínimas pág.14

- 4.1.1. Zonas Aligeiradas pág.14

- 4.1.2. Malhas nos amaçiçamentos  pág.14

- 4.1.3. Malhas nas zonas aligeiradas  pág.14

- 4.2. Calculo de Armaduras pág.15

- 4.2.1. Exemplo de calculo pág.15

- 4.2.2. Armadura das Faixas Centrais pág.18

- 4.2.3. Armadura das Faixas Laterais pág.19

- 4.3. Verificação do Esforço transverso pág.20

- 4.3.1. Verificação no 1º Piso pág.20

- 4.3.2. Verificação na Cobertura pág.21

- 4.4. Verificação ao Punçoamento pág.21

- 4.4.1. Exemplo de Calculo pág.21

- 4.4.2. Quadros pág.23

- 4.5. Verificação da Segurança dos E.L.Utilização             pág.24

- 4.5.1. Deformação pág.24

- 4.5.2. Fendilhação pág.24

- 5. Escadas pág.25

- 5.1. Acções pág.26

- 5.2. Geometria pág.26

- 5.3. Cálculo de Esforços e Armadura de Flexão pág.27

- 5.4 Verficação Do Esforço Transverso pág.30

- 5.5. Verificação da Segurança dos E.L:Utilização             pág.30

- 5.5.1. Deformação pág.30

- 5.5.2. Fendilhação pág.30

- 6. Sapatas Centradas pág.32

- 6.1. Sapatas 2B e 2C pág.32

- 6.1.1. Pré-dimensionamento pág.32

- 6.1.2. Esforços no Centro de Gravidade pág.32

- 6.1.3. Excentricidades pág.33

- 6.1.4. Verificação Seg. E.L.U pág.33

- 6.1.5. Verificação do Esforço Transverso pág.34

- 6.1.6. Verificação de Equilíbrio pág.35

- 6.2. Sapatas 3B e 3C pág.36

- 6.2.1. Pré-dimensionamento pág.36

- 6.2.2. Esforços no Centro de Gravidade pág.37

- 6.2.3. Excentricidades pág.37

- 6.2.4. Verificação Seg. E.L.U pág.37

- 6.2.5. Verificação do Esforço Transverso pág.38

- 6.2.6. Verificação de Equilíbrio pág.39

- 6.3. Sapatas 2D pág.40

- 6.3.1. Pré-dimensionamento pág.40

- 6.3.2. Esforços no Centro de Gravidade pág.40

- 6.3.3. Excentricidades pág.41

- 6.3.4. Verificação Seg. E.L.U pág.41

- 6.3.5. Verificação do Esforço Transverso pág.42

- 6.3.6. Verificação de Equilíbrio pág.43

- 6.4. Sapatas 3D pág.44

- 6.4.1. Pré-dimensionamento pág.44

- 6.4.2. Esforços no Centro de Gravidade pág.44

- 6.4.3. Excentricidades pág.45

- 6.4.4. Verificação Seg. E.L.U pág.45

- 6.4.5. Verificação do Esforço Transverso pág.46

- 6.34.6. Verificação de Equilíbrio pág.47

- 7. Sapatas Excentricas pág.48

- 7.1. Sapatas 4B e 4C pág.48

- 7.1.1. Pré-dimensionamento pág.48

- 7.1.2. Esforços no Centro de Gravidade pág.49

- 7.1.3. Excentricidades pág.49

- 7.1.4. Comprimento do troço comprimido pág.49

- 7.1.5. Verificação Seg. E.L.U pág.50

- 7.1.6. Verificação do Esforço Transverso pág.50

- 7.1.7. Verificação de Equilíbrio pág.51

- 7.1.8. Dimensionamento da viga pág.52

- 7.1.8.1 Verificação do Esf. Transverso pág.53

- 7.2. Sapata 4D    pág.53

- 7.2.1. Pré-dimensionamento pág.53

- 7.2.2. Esforços no Centro de Gravidade pág.54

- 7.2.3. Excentricidades pág.54

- 7.2.4. Comprimento do troço comprimido pág.54

- 7.2.5. Verificação Segurança. E.L.U pág.55

- 7.2.6. Verificação do Esforço Transverso pág.55

- 7.2.7. Verificação de Equilíbrio pág.56

- 7.2.8. Dimensionamento da viga pág.57

- 7.2.8.1 Verificação do Esf. Transverso pág.57

- 8. Murete pág.59

- 8.1. Modelo de Cálculo pág.60

- 8.2. Cálculo da Armadura de Flexão pág.60

- 9. Dimensionamento Dos Muros de Suporte pág.61

- 9.1. Muro de Suporte M1 pág.62

- 9.1.1. Verificação ao Deslize pág.63

- 9.1.2. Verificação ao Derrube pág.63

- 9.1.3. Dimensionamento do Muro pág.64

- 9.1.3.1. Calculo da Armadura de Flexão pág.64

- 9.1.3.2. Verificação ao Esforço transverso pág.65

- 9.1.4. Dimensionamento da Sapata pág.65

- 9.2. Muro de Suporte M2 pág.65

- 9.2.1. Verificação ao Deslize pág.66

- 9.2.2. Verificação ao Derrube pág.66

- 9.2.3. Dimensionamento do Muro pág.67

- 9.2.3.1. Calculo da Armadura de Flexão pág.68

- 9.2.3.2. Verificação ao Esforço transverso pág.68

- 9.2.4. Dimensionamento da Viga de Fundação pág.68

- 9.2.4.1. Calculo da Armadura de Flexão pág.69

- 9.2.4.2. Verificação ao Esforço transverso pág.69 -

9.2.5. Dimensionamento da Sapata pág.70

- 9.2.5.1. Verificação ao Esforço transverso pág.71

- 9.2.5.2. Calculo da Armadura de Flexão pág.71

- 9.2.6. Verificação ao Deslize do Muro e da Viga pág.71

- 9.3. Muro de Suporte M3 pág.72

- 9.3.1. Vãos pág.72

- 9.3.2. Relação de Vãos pág.72

- 9.3.3. Cargas pág.73

- 9.3.4. Modelo de Calculo pág.73

- 9.3.5. Verificação ao Esforço transverso pág.73

- 9.3.6. Calculo da Armadura de Flexão pág.74

- 9.3.7. Dimensionamento da Sapata pág.75

- 9.4. Muro de Suporte M4 pág.75

- 9.2.1. Verificação ao Deslize pág.75

- 9.2.2. Verificação ao Derrube pág.76

- 9.2.3. Dimensionamento do Muro pág.77

- 9.2.3.1. Calculo da Armadura de Flexão pág.77

- 9.2.3.2. Verificação ao Esforço transverso pág.78

- 9.2.4. Dimensionamento da Viga de Fundação pág.78

- 9.2.4.1. Calculo da Armadura de Flexão pág.78

- 9.2.4.2. Verificação ao Esforço transverso pág.79

- 9.2.5. Verificação ao Deslize do Muro e da Viga pág.79

- 9.2.6. Dimensionamento da Sapata pág.80

- 9.2.5.1. Verificação ao Esforço transverso pág.81

- 9.2.5.2. Calculo da Armadura de Flexão pág.81

- 9.2.7. Dimensionamento da Sapata c/ Escadas pág.82

- 9.2.7.1. Verificação ao Esforço transverso pág.82

- 10. Medições pág.83

- 10.1. Laje Aligeirada pág.83

- 10.2. Laje Maciça pág.83

- 10.3. Muros pág.83

- 10.4. Escadas pág.84

- 10.5. Vigas de Fundação pág.84

- 10.6. Sapatas pág.84

- 10.5.1 Sapatas do Muros pág.84

- 10.7. Quadro de Medições pág.85

- Bibliografia pág.86

MEMÓRIA DESCRITIVA

1-Introdução

O presente projecto de concreto armado, diz respeito a um edifício de escritórios. Este é constituído por dois pisos, em Sta.Cruz das Flores – Flores – Açores. Um dos pisos é semi-enterrado e destina-se a estacionamento privado. O segundo piso será utilizado como escritório. A cobertura será um terraço acessível, onde se localizaram os equipamentos AVAC.

O acesso do edifício será garantido  por uma escada exterior.

O edifício, foi projectado tendo em conta o seu tipo de utilização.

2-Condicionalismos

O edifício assenta sobre um solo do tipo II tendo este como características geotécnicas, uma tensão admissível de 0.3 MPa, uma massa volúmica de 19kN/m³, um ângulo da atrito interno de 30º.

O nível freático situa-se a uma profundidade que em nada influência o bom comportamento estrutural.

A cave é semi-enterrada, sendo contraventada através de muros de suporte.

3-Descrição da Estrutura

3.1-Superestrutura

A estrutura resistente do edifício é constituída por vigas periféricas, pilares, muros de suporte, que suportam  um pavimento constituído por uma laje fungiforme aligeirada do tipo ATEX900 (325/75/400). Nestas condições, as paredes de alvenaria previstas constituem simples painéis de enchimento, enquadrados pelos elementos da estrutura resistente.

Os elementos estruturais serão constituídos por concreto, betão(C25/30) e aço A400NR.

O recobrimento a adoptar nas lajes, vigas, pilares, escadas é de 3cm, com a excepção dos muros onde esse valor é de 5 cm.

A Estrutura resistente foi projectada de modo a assegurar um bom comportamento face à combinação prevista, ELU, no Regulamento de Segurança e Acções (RSA). Foram tidos em conta os condicionalismos previstos no Regulamento de Estruturas de Betão Armado e Pré – esforçado ( REBAP).

3.2-Fundações

O dimensionamento das fundações foi elaborado por forma a garantir que os factores de segurança correspondentes ao deslizamento e derrube fossem sempre superiores a 1,5 e tendo em conta as características geotécnicas do solo.

Foi adoptada uma solução de fundações directas de Concreto, Betão Armado (C25/30) e aço A400NR. O recobrimento a utilizar nestes elementos estruturais é de 7cm.

Recomenda-se a utilização do concreto, betão de limpeza ( C20/25 )  para a regularização de superfície de contacto.

4-Acções

De acordo com o Regulamento de Segurança e Acções (RSA), as acções intervenientes são:

CP – carga permanente

S – sobrecarga

Impulso de terras

As acções devido à variação de temperatura, ao vento e ao sismo, não foram contabilizadas.

5-Combinação de Acções

Admitindo que todas as acções têm um efeito desfavorável, a determinação dos esforços de cálculo far-se-á atendendo ás seguintes imposições do artigo 9 do R.S.A.:

- Combinação fundamental com acção de base sobrecarga:

Qsd. = 1.5 x C.P. + 1.5 x S.C.

6-Método de Cálculo

Para o cálculo dos esforços da estrutura, recorreu- se ao programa automático de cálculo (SAP2000) v 6.11 baseado no método dos elementos finitos.

CÁLCULOS JUSTIFICATIVOS

 

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Tabela de medições

Elemento	Aço (Kg/m2)	Betão (m3/m2)	Área (m2)	Aço Total (Kg)	Betão (m3)
Laje Maciça	17,76	0,4	89,6	1591.3	35,84
Laje Aligeirada	13,81	0,22	24,7	341.12	54,34
Sapatas + sap. muro	19,76	0,65	110,43	2178,78	71,78
Muro de suporte	37,73	0,2	153,72	5800	30,74
Escadas	10,86	0,25	19,52	211,99	4,88
Viga de fundação	13	0,8	20,8	270,4	16,64

S=10393,6     S=214,22

 

Admitindo um acréscimo de 5 % para margem de segurança, chegamos á conclusão que seria necessário para execução da obra:

-          A quantidade de 11 toneladas de  aço

-          A quantidade de 225 m ² de betão

 

 

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